2012年8月王军霞的高中数学组卷(立体几何高考复*)

发布时间:2021-12-01 05:42:23

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2012 年 8 月王军霞的高中数学组卷(立体几何高考 复*)
一.选择题(共 12 小题) 1.重复题目如图,正三棱锥 A﹣BCD 中,E 在棱 AB 上,F 在棱 CD 上.并且 面直线 EF 与 AC 所成的角,β 为异面直线 EF 与 BD 所成的角,则 α+β 的值是( ) (0<λ<+∞) ,设 α 为异

A.

B.

C.

D.与 λ 的值有关

2. (2012?重庆)设四面体的六条棱的长分别为 1,1,1,1, 和 a,且长为 a 的棱与长为 的棱异面,则 a 的取 值范围是( ) A.(0, ) B.(0, ) C.(1, ) D.(1, ) 3. (2012?浙江)已知某三棱锥的三视图(单位:cm)如图所示,则该三棱锥的体积是( )

A.1cm3

B.2cm3

C.3cm3

D.6cm3

4. (2012?浙江)已知矩形 ABCD,AB=1,BC= .将△ ABD 沿矩形的对角线 BD 所在的直线进行翻折,在翻折 过程中( ) A.存在某个位置,使得直线 AC 与直线 BD 垂直 B. 存在某个位置,使得直线 AB 与直线 CD 垂直 C. 存在某个位置,使得直线 AD 与直线 BC 垂直 D.对任意位置,三对直线“AC 与 BD”,“AB 与 CD”,“AD 与 BC”均不垂直 5. (2012?浙江)设 l 是直线,α,β 是两个不同的*面( ) A.若 l∥α,l∥β,则 α∥β B.若 l∥α,l⊥β,则 α⊥β C.若 α⊥β,l⊥α,则 l⊥β D.若 α⊥β,l∥α,则 l⊥β

6. (2012?渝水区)已知点 O、N、P 在△ ABC 所在*面内,且 = = ,则点 O、N、P 依次为△ ABC 的(
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, )



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www.jyeoo.com A.重心、外心、垂心 B.重心、外心、内心 C.外心、重心、垂心 D.外心、重心、内心

7. (2012?陕西)如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱 ABC﹣A1B1C1,CA=CC1=2CB,则直线 BC1 与直线 AB1 夹角的余弦值为( )

A.

B.

C.

D.

8. (2011?浙江)几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图可以是(



A.

B.

C.

D.

9. (2011?宜阳县)已知在半径为 2 的球面上有 A、B、C、D 四点,若 AB=CD=2,则四面体 ABCD 的体积的最大 值为( ) A. B. C. D.

10. (2011?辽宁)己知球的直径 SC=4,A,B 是该球球面上的两点.AB=2,∠ASC=∠BSC=45°,则棱锥 S﹣ABC 的体积为( ) A. B. C. D.

11. (2011?辽宁)已知球的直径 SC=4,A,B 是该球球面上的两点,AB= 的体积为( ) A.3 B.2 C.

,∠ASC=∠BSC=30°,则棱锥 S﹣ABC D.1

12. (2011?江西) 将长方体截去一个四棱锥, 得到的几何体如图所示, 则该几何体的左视图为 ( A. ) B. C. D.

二.填空题(共 6 小题)
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www.jyeoo.com 13. (2009?陕西)如图球 O 的半径为 2,圆 O1 是一小圆, 面距离为 ,则∠AO1B= _________ . ,A、B 是圆 O1 上两点,若 A,B 两点间的球

14.如图,在多面体 ABCDEF 中,已知*面 ABCD 是边长为 6 的正方形,EF∥AB,EF=3,且 EF 与*面 ABCD 的距离为 4,则该多面体的体积为 _________ .

15.三棱台 ABC﹣A1B1C1,△ ABC 的面积是 4,△ A1B1C1 的面积是 1,棱台的高是 2,求截得棱台的棱锥的高是 _________ . 16. (2010?上海)如图,若正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 的底面边长为 2,高为 4,则异面直线 BD1 与 AD 所成角的 大小是 _________ (结果用反三角函数值表示) .

17. (2007?江西)如图,正方体 AC1 的棱长为 1,过点 A 作*面 A1BD 的垂线,垂足为点 H.有下列四个命题: A.点 H 是△ A1BD 的垂心; B.AH 垂直*面 CB1D1; C.二面角 C﹣B1D1﹣C1 的正切值为 ; D.点 H 到*面 A1B1C1D1 的距离为 其中真命题的代号是. (写出所有真命题的代号)

18. (2010?四川)如图,二面角 α﹣l﹣β 的大小是 60°,线段 AB? α.B∈l,AB 与 l 所成的角为 30°.则 AB 与*面 β 所成的角的正弦值是 _________ .

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三.解答题(共 6 小题) 19. (2006?北京)如图,在底面为*行四边形的四棱锥 P﹣ABCD 中,AB⊥AC,PA⊥*面 ABCD,且 PA=AB,点 E 是 PD 的中点. (1)求证:PB∥*面 AEC; (2)求二面角 E﹣AC﹣B 的大小.

20.四棱锥 S﹣ABCD 的底面是边长为 1 的正方形,侧棱 SB 垂直于底面,并且 SB= 的值.

,用 α 表示∠ASD,求 sinα

21. (2000?天津)如图,已知*行六面体 ABCD﹣A1B1C1D1 的底面 ABCD 上菱形,且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD, (1)证明:C1C⊥BD; (2)当 的值为多少时,能使 A1C⊥*面 C1BD?请给出证明.

22. (2003?上海)已知*行六面体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,A1A⊥*面 ABCD,AB=4,AD=2.若 B1D⊥BC,直线 B1D 与*面 ABCD 所成的角等于 30°,求*行六面体 ABCD﹣A1B1C1D1 的体积.

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23.A、B、C 是球面上三点,已知弦(连接球面上两点的线段)AB=18cm,BC=24cm,AC=30cm,*面 ABC 与球 心的距离恰好为球半径的一半,求球的表面积和体积.

24. (2012?湖南)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,PA⊥*面 ABCD,底面 ABCD 是等腰梯形,AD∥BC,AC⊥BD. (Ⅰ)证明:BD⊥PC; (Ⅱ)若 AD=4,BC=2,直线 PD 与*面 PAC 所成的角为 30°,求四棱锥 P﹣ABCD 的体积.

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2012 年 8 月王军霞的高中数学组卷(立体几何高考 复*)
参考答案与试题解析
一.选择题(共 12 小题) 1.重复题目如图,正三棱锥 A﹣BCD 中,E 在棱 AB 上,F 在棱 CD 上.并且 面直线 EF 与 AC 所成的角,β 为异面直线 EF 与 BD 所成的角,则 α+β 的值是( ) (0<λ<+∞) ,设 α 为异

A.

B.

C.

D.与 λ 的值有关

考点: 异面直线及其所成的角。 专题: 计算题。 分析: 先证明正三棱锥的对棱 AC 与 BD 垂直,此结论由线面垂直得来,再由异面直线所成的角的定义,在同一*
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面内找到 α 与 β,最后在三角形中发现 α+β= 解答: 解:如图,取线段 BC 上一点 H,使

,从而做出正确选择.

,取 BD 中点 O,连接 AO,CO

∵正三棱锥 A﹣BCD 中每个侧面均为等腰三角形,底面△ BCD 为正三角形,∴BD⊥AO,BD⊥CO, ∵AO∩CO=O,∴BD⊥*面 AOC,∵AC? *面 AOC∴BD⊥AC ∵ , ,∴EH∥AC,∵ , ,∴HF∥BD

∴∠HEF 就是异面直线 EF 与 AC 所成的角,∠HFE 就是异面直线 EF 与 BD 所成的角,∴∠EHF 就是异面 直线 BD 与 AC 所成的角, ∴α=∠HEF,β=∠HFE,∠EHF=90° ∴α+β= 故选 C ,

点评: 本题考察了异面直线所成的角的作法和算法,正三棱锥的性质,解题时要认真体会将空间问题转化为*面 问题的过程
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www.jyeoo.com 2. (2012?重庆)设四面体的六条棱的长分别为 1,1,1,1, 和 a,且长为 a 的棱与长为 的棱异面,则 a 的取 值范围是( ) A.(0, ) B.(0, ) C.(1, ) D.(1, ) 考点: 专题: 分析: 解答: 异面直线的判定;棱锥的结构特征。 计算题。 先在三角形 BCD 中求出 a 的范围,再在三角形 AED 中求出 a 的范围,二者相结合即可得到答案. 解:设四面体的底面是 BCD,BC=a,BD=CD=1,顶点为 A,AD= 在三角形 BCD 中,因为两边之和大于第三边可得:0<a<2 (1) 取 BC 中点 E,∵E 是中点,直角三角形 ACE 全等于直角 DCE,
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所以在三角形 AED 中,AE=ED= ∵两边之和大于第三边 ∴ <2 得 0<a< . (负值 0 值舍) (2)

由(1) (2)得 0<a< 故选:A.

点评: 本题主要考察三角形三边关系以及异面直线的位置.解决本题的关键在于利用三角形两边之和大于第三边 这一结论. 3. (2012?浙江)已知某三棱锥的三视图(单位:cm)如图所示,则该三棱锥的体积是( )

A.1cm3

B.2cm3

C.3cm3

D.6cm3

考点: 由三视图求面积、体积。 专题: 计算题。 分析: 由三视图知,几何体是一个三棱锥,底面是直角边长为 1 和 2 的直角三角形,三棱锥的一条侧棱与底面垂 直,且长度是 3,这是三棱锥的高,根据三棱锥的体积公式得到结果. 解答: 解:由三视图知,几何体是一个三棱锥,底面是直角边长为 1cm 和 2cm 的直角三角形,面积是
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www.jyeoo.com cm , 三棱锥的一条侧棱与底面垂直,且长度是 3cm,这是三棱锥的高, ∴三棱锥的体积是 cm ,
3 2

故选 A. 点评: 本题考查由三视图还原几何体,本题解题的关键是根据三视图看出几何体的形状和长度,注意三个视图之 间的数据关系,本题是一个基础题. 4. (2012?浙江)已知矩形 ABCD,AB=1,BC= .将△ ABD 沿矩形的对角线 BD 所在的直线进行翻折,在翻折 过程中( ) A.存在某个位置,使得直线 AC 与直线 BD 垂直 B. 存在某个位置,使得直线 AB 与直线 CD 垂直 C. 存在某个位置,使得直线 AD 与直线 BC 垂直 D.对任意位置,三对直线“AC 与 BD”,“AB 与 CD”,“AD 与 BC”均不垂直 考点: 空间中直线与直线之间的位置关系。 专题: 证明题。 分析: 先根据翻折前后的变量和不变量, 计算几何体中的相关边长, 再分别筛选四个选项, A 成立, 若 则需 BD⊥EC, 这与已知矛盾;若 C 成立,则 A 在底面 BCD 上的射影应位于线段 BC 上,可证明位于 BC 中点位置,故 B 成立;若 C 成立,则 A 在底面 BCD 上的射影应位于线段 CD 上,这是不可能的;D 显然错误 解答: 解:如图,AE⊥BD,CF⊥BD,依题意,AB=1,BC= ,AE=CF= ,BE=EF=FD= ,
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A,若存在某个位置,使得直线 AC 与直线 BD 垂直,则∵BD⊥AE,∴BD⊥*面 AEC,从而 BD⊥EC,这 与已知矛盾,排除 A; B,若存在某个位置,使得直线 AB 与直线 CD 垂直,则 CD⊥*面 ABC,*面 ABC⊥*面 BCD 取 BC 中点 M,连接 ME,则 ME⊥BD,∴∠AEM 就是二面角 A﹣BD﹣C 的*面角,此角显然存在,即当 A 在底面上的射影位于 BC 的中点时,直线 AB 与直线 CD 垂直,故 B 正确; C,若存在某个位置,使得直线 AD 与直线 BC 垂直,则 BC⊥*面 ACD,从而*面 ACD⊥*面 BCD,即 A 在底面 BCD 上的射影应位于线段 CD 上,这是不可能的,排除 C D,由上所述,可排除 D 故选 B

点评: 本题主要考查了空间的线面和面面的垂直关系,翻折问题中的变与不变,空间想象能力和逻辑推理能力, 有一定难度,属中档题 5. (2012?浙江)设 l 是直线,α,β 是两个不同的*面( ) A.若 l∥α,l∥β,则 α∥β B.若 l∥α,l⊥β,则 α⊥β C.若 α⊥β,l⊥α,则 l⊥β D.若 α⊥β,l∥α,则 l⊥β 考点: *面与*面之间的位置关系。 专题: 证明题。 分析: 利用面面垂直的判定定理可证明 B 是正确的,对于其它选项,可利用举反例法证明其是错误命题
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www.jyeoo.com 解答: 解:A,若 l∥α,l∥β,则满足题意的两*面可能相交,排除 A; B,若 l∥α,l⊥β,则在*面 α 内存在一条直线垂直于*面 β,从而两*面垂直,故 B 正确; C,若 α⊥β,l⊥α,则 l 可能在*面 β 内,排除 C; D,若 α⊥β,l∥α,则 l 可能与 β *行,相交,排除 D 故选 B 点评: 本题主要考查了空间线面、面面位置关系,空间线面、面面垂直于*行的判定和性质,简单的逻辑推理能 力,空间想象能力,属基础题

6. (2012?渝水区)已知点 O、N、P 在△ ABC 所在*面内,且 = = ,则点 O、N、P 依次为△ ABC 的( B.重心、外心、内心 )





A.重心、外心、垂心

C.外心、重心、垂心

D.外心、重心、内心

考点: 三角形五心;向量在几何中的应用。 专题: 计算题。 分析: 根据 O 到三角形三个顶点的距离相等,得到 O 是三角形的外心,根据所给的四个选项,第一个判断为外心 的只有 C,D 两个选项,只要判断第三个条件可以得到三角形的什么心就可以,移项相减,得到垂直,即 得到 P 是三角形的垂心. 解答: 证明:∵ ,
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∴O 到三角形三个顶点的距离相等, ∴O 是三角形的外心, 根据所给的四个选项,第一个判断为外心的只有 C,D 两个选项, ∴只要判断第三个条件可以得到三角形的什么心就可以, ∵ ∴ ∴ ∴ , , = = , ,

同理得到另外两个向量都与边垂直, 得到 P 是三角形的垂心, 故选 C. 点评: 本题是一个考查的向量的知识点比较全面的题目,把几种三角形的心总结的比较全面,解题时注意向量的 有关定律的应用,不要在运算律上出错. 7. (2012?陕西)如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱 ABC﹣A1B1C1,CA=CC1=2CB,则直线 BC1 与直线 AB1 夹角的余弦值为( )

A.

B.

C.

D.

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www.jyeoo.com 考点: 异面直线及其所成的角。 专题: 计算题。 分析: 根据题意可设 CB=1,CA=CC1=2,分别以 CA、CC1、CB 为 x 轴、y 轴和 z 轴建立如图坐标系,得到 A、B、
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B1、C1 四个点的坐标,从而得到向量



的坐标,根据异面直线所成的角的定义,结合空间两个向

量数量积的坐标公式,可以算出直线 BC1 与直线 AB1 夹角的余弦值. 解答: 解:分别以 CA、CC1、CB 为 x 轴、y 轴和 z 轴建立如图坐标系, ∵CA=CC1=2CB,∴可设 CB=1,CA=CC1=2 ∴A(2,0,0) ,B(0,0,1) 1(0,2,1) 1(0,2,0) ,B ,C ∴ 可得 向量 =(0,2,﹣1) , ? 与 =(﹣2,2,1) = , =3,

=0×(﹣2)+2×2+(﹣1)×1=﹣3,且

所成的角(或其补角)就是直线 BC1 与直线 AB1 夹角,

设直线 BC1 与直线 AB1 夹角为 θ,则 cosθ=

=

故选 A 点评: 本题给出一个特殊的直三棱柱,求位于两个侧面的面对角线所成角的余弦之值,着重考查了空间向量的坐 标运算和异面直线及其所成的角的概论,属于基础题. 8. (2011?浙江)几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图可以是( )

A.

B.

C.

D.

考点: 空间几何体的直观图;简单空间图形的三视图。 专题: 作图题。 分析: A、C 选项中正视图不符合,D 答案中侧视图不符合,由排除法即可选出答案. 解答:
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解:A、C 选项中正视图不符合,A 的正视图为



C 的正视图为
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D 答案中侧视图不符合.D 答案中侧视图为 故选 B 点评: 本题考查空间几何体的三视图,考查空间想象能力. 9. (2011?宜阳县)已知在半径为 2 的球面上有 A、B、C、D 四点,若 AB=CD=2,则四面体 ABCD 的体积的最大 值为( ) A. B. C. D.

考点: 专题: 分析: 解答:

棱柱、棱锥、棱台的体积;球的性质。 计算题;综合题。 四面体 ABCD 的体积的最大值,AB 与 CD 是对棱,必须垂直,确定球心的位置,即可求出体积的最大值. 解:过 CD 作*面 PCD,使 AB⊥*面 PCD,交 AB 与 P,设点 P 到 CD 的距离为 h,
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则有 当直径通过 AB 与 CD 的中点时,

, ,故 .

故选 B. 点评: 本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过球这个载体考查考生的空间想象 能力及推理运算能力. 10. (2011?辽宁)己知球的直径 SC=4,A,B 是该球球面上的两点.AB=2,∠ASC=∠BSC=45°,则棱锥 S﹣ABC 的体积为( ) A. B. C. D.

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;球内接多面体。 专题: 计算题。 分析: 由题意求出 SA=AC=SB=BC=2 ,∠SAC=∠SBC=90°,说明球心 O 与 AB 的*面与 SC 垂直,求出 OAB 的面积,即可求出棱锥 S﹣ABC 的体积. 解答: 解:如图:由题意求出 SA=AC=SB=BC=2 ,
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∠SAC=∠SBC=90°,所以*面 ABO 与 SC 垂直,则 进而可得:VS﹣ABC=VC﹣AOB+VS﹣AOB, 所以棱锥 S﹣ABC 的体积为: 故选 C. = .

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点评: 本题是基础题,考查球的内接三棱锥的体积,考查空间想象能力,计算能力,球心 O 与 AB 的*面与 SC 垂直是本题的解题关键,常考题型. 11. (2011?辽宁)已知球的直径 SC=4,A,B 是该球球面上的两点,AB= 的体积为( ) A.3 B.2 C. ,∠ASC=∠BSC=30°,则棱锥 S﹣ABC D.1

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积。 专题: 计算题。 分析: 设球心为点 O,作 AB 中点 D,连接 OD,CD,说明 SC 是球的直径,利用余弦定理,三角形的面积公式求
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出 S△ SCD,和棱锥的高 AB,即可求出棱锥的体积. 解答: 解:设球心为点 O,作 AB 中点 D,连接 OD,CD 因为线段 SC 是球的直径, 所以它也是大圆的直径,则易得:∠SAC=∠SBC=90° 所以在 Rt△ SAC 中,SC=4,∠ASC=30° 得:AC=2,SA=2 又在 Rt△ SBC 中,SC=4,∠BSC=30° 得:BC=2,SB=2 则:SA=SB,AC=BC 因为点 D 是 AB 的中点所以在等腰三角形 ASB 中,SD⊥AB 且 SD= 在等腰三角形 CAB 中,CD⊥AB 且 CD= = = = =

又 SD 交 CD 于点 D 所以:AB⊥*面 SCD 即:棱锥 S﹣ABC 的体积:V= AB?S△ SCD, 因为:SD= ﹣16) ,CD= ,SC=4 所以由余弦定理得:cos∠SDC=(SD +CD ﹣SC ) = =
2 2 2

=(

+

则:sin∠SDC=

= =3 =

由三角形面积公式得△ SCD 的面积 S= SD?CD?sin∠SDC= 所以:棱锥 S﹣ABC 的体积:V= AB?S△ SCD=

故选 C 点评: 本题是中档题,考查球的内接棱锥的体积的求法,考查空间想象能力,计算能力,有难度的题目,常考题 型.

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12. (2011?江西) 将长方体截去一个四棱锥, 得到的几何体如图所示, 则该几何体的左视图为 ( A. ) B. C. D.

考点: 简单空间图形的三视图。 专题: 作图题。 分析: 根据三视图的特点,知道左视图从图形的左边向右边看,看到一个正方形的面,在面上有一条对角线,对 角线是由左下角都右上角的线,得到结果. 解答: 解:左视图从图形的左边向右边看, 看到一个正方形的面, 在面上有一条对角线, 对角线是由左下角都右上角的线, 故选 D. 点评: 本题考查空间图形的三视图,考查左视图的做法,本题是一个基础题,考查的内容比较简单,可能出现的 错误是对角线的方向可能出错.
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二.填空题(共 6 小题) 13. (2009?陕西)如图球 O 的半径为 2,圆 O1 是一小圆, 面距离为 ,则∠AO1B= . ,A、B 是圆 O1 上两点,若 A,B 两点间的球

考点: 球面距离及相关计算;球面的三角公式。 专题: 计算题。 分析: 由题意知应先求出 AB 的长度,在直角三角形 AOB 中由余弦定理可得 AB=2,由此知三角形 AO1B 的三边 长,由此可以求出∠AO1B 的值. 解答: 解:由题设知 ,OA=OB=2
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在圆 O1 中有

, ,

又 A,B 两点间的球面距离为 由余弦定理,得:AB=2

在三角形 AO1B 中由勾股定理可得:∠AO1B= 故答案为 .

点评: 本题的考点是球面距离及相关计算,其考查背景是球内一小圆上两点的球面距,对空间想象能力要求较高, 此类题是一个基本题型,属于基础题.
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www.jyeoo.com 14.如图,在多面体 ABCDEF 中,已知*面 ABCD 是边长为 6 的正方形,EF∥AB,EF=3,且 EF 与*面 ABCD 的距离为 4,则该多面体的体积为 60 .

考点: 组合几何体的面积、体积问题。 专题: 计算题。 分析: 由已知中多面体 ABCDEF 中,已知面 ABCD 是边长为 6 的正方形,EF 与面 AC 的距离为 4,我们易求出四
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棱锥 E﹣ABCD 的体积,然后根据由题意求出 VF﹣ABCD 与几何体的体积,即可得到正确选项. 解答: 解:由已知条件可知,EF∥*面 ABCD, 则 F 到*面 ABCD 的距离 4, 将几何体变形如图,使得 EG=AB,三棱锥 F﹣BCG 的体积为: ﹣12=60 故答案为 60. =12 原几何体的体积为:

点评: 本题考查的知识点是组合几何体的面积、体积问题,是常考题目.本题可以直接求解,但是麻烦.解答组 合体问题的常用方法是分割法. 15.三棱台 ABC﹣A1B1C1,△ ABC 的面积是 4,△ A1B1C1 的面积是 1,棱台的高是 2,求截得棱台的棱锥的高是 2 . 考点: 棱台的结构特征。 专题: 计算题。 分析: 根据两个三角形的面积,知道两个三角形面积的比值,从而得到变长的比值,得到棱锥的高的比值,设出 去掉的部分的高,表示出整个圆锥的高. 解答: 解:∵△ABC 的面积是 4,△ A1B1C1 的面积是 1, ∴两个三角形的边长的比是 1:2 设截去的部分棱锥高是 h,
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∴h=2 故答案为:2 点评: 本题考查棱台的结构特征,是一个简单的计算题目,不像其他的运算题目那样运算量大,这个题目只是为 了考查概念而设置的运算,要得全分.

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www.jyeoo.com 16. (2010?上海)如图,若正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 的底面边长为 2,高为 4,则异面直线 BD1 与 AD 所成角的 大小是 arctan (结果用反三角函数值表示) .

考点: 异面直线及其所成的角。 专题: 计算题。 分析: 先通过**教跻烀嬷毕*移到同一个起点,得到的锐角或直角就是异面直线所成的角,在直角三角形 中求出正切值,再用反三角函数值表示出这个角即可. 解答: 解:先画出图形 将 AD *移到 BC,则∠D1BC 为异面直线 BD1 与 AD 所成角, BC=2,D1C= ,tan∠D1BC= , ∴∠D1BC=arctan , 故答案为 arctan .
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点评: 本题主要考查了异面直线及其所成的角,以及解三角形的应用,属于基础题. 17. (2007?江西)如图,正方体 AC1 的棱长为 1,过点 A 作*面 A1BD 的垂线,垂足为点 H.有下列四个命题: A.点 H 是△ A1BD 的垂心; B.AH 垂直*面 CB1D1; C.二面角 C﹣B1D1﹣C1 的正切值为 ; D.点 H 到*面 A1B1C1D1 的距离为 其中真命题的代号是. (写出所有真命题的代号)

考点: 直线与*面垂直的判定;与二面角有关的立体几何综合题;点、线、面间的距离计算。 专题: 综合题。
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www.jyeoo.com 分析: 结合正方体图形,逐一判断选项,求得结果即可. 解答: 解:因为三棱锥 A﹣A1BD 是正三棱锥,故顶点 A 在底面的射映是底面中心,A 正确; 面 A1BD∥面 CB1D1,而 AH 垂直*面 A1BD,所以 AH 垂直*面 CB1D1,B 正确; 连接 A1C1∩B1D1=O? COC1 即为二面角 C﹣B1D1﹣C1 的*面角, ∠ 对于 D,连接 AC1,? 1⊥面 A1BD,故点 H 是 AC1 AC 的三等分点,故点 H 到*面 A1B1C1D1 的距离为 从而 D 错. ,C 正确;

则应填 A,B,C. 点评: 本题考查直线与*面垂直的判定,二面角及其度量等知识,考查空间想象能力,是基础题. 18. (2010?四川)如图,二面角 α﹣l﹣β 的大小是 60°,线段 AB? α.B∈l,AB 与 l 所成的角为 30°.则 AB 与*面 β 所成的角的正弦值是 .

考点: *面与*面之间的位置关系;与二面角有关的立体几何综合题。 专题: 计算题。 分析: 过点 A 作*面 β 的垂线,垂足为 C,在 β 内过 C 作 l 的垂线.垂足为 D,连接 AD,从而∠ADC 为二面角 α﹣l﹣β 的*面角,连接 CB,则∠ABC 为 AB 与*面 β 所成的角,在直角三角形 ABC 中求出此角即可. 解答: 解:过点 A 作*面 β 的垂线,垂足为 C, 在 β 内过 C 作 l 的垂线.垂足为 D 连接 AD,有三垂线定理可知 AD⊥l, 故∠ADC 为二面角 α﹣l﹣β 的*面角,为 60° 又由已知,∠ABD=30° 连接 CB,则∠ABC 为 AB 与*面 β 所成的角 设 AD=2,则 AC= ,CD=1
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AB=

=4 ;

∴sin∠ABC= 故答案为 .

点评: 本题主要考查了*面与*面之间的位置关系,以及直线与*面所成角,考查空间想象能力、运算能力和推 理论证能力,属于基础题. 三.解答题(共 6 小题) 19. (2006?北京)如图,在底面为*行四边形的四棱锥 P﹣ABCD 中,AB⊥AC,PA⊥*面 ABCD,且 PA=AB,点 E 是 PD 的中点. (1)求证:PB∥*面 AEC;
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www.jyeoo.com (2)求二面角 E﹣AC﹣B 的大小.

考点: 三垂线定理;直线与*面*行的判定。 分析: (1) 欲证 PB∥*面 AEC, 根据直线与*面*行的判定定理可知只需证 PB 与*面 AEC 内一直线*行即可, 连 BD 交 AC 于点 O,连 EO, 则 EO 是△ PDB 的中位线则 EO∥PB,满足条件; (2)取 AD 的中点 F,连 EF,FO,根据定义可知∠EOF 是二面角 E﹣AC﹣D 的*面角,在△ EOF 中求出 此角,而二面角 E﹣AC﹣B 与二面角 E﹣AC﹣D 互补. 解答: 解: (1)由 PA⊥*面 ABCD 可得 PAAC 又 AB⊥AC,所以 AC⊥*面 PAB,所以 AC⊥PB 连 BD 交 AC 于点 O,连 EO, 则 EO 是△ PDB 的中位线, ∴EO∥PB ∴PB∥*面 AEC (2)取 AD 的中点 F,连 EF,FO, 则 EF 是△ PAD 的中位线, ∴EF∥PA 又 PA⊥*面 ABCD, ∴EF⊥*面 ABCD 同理 FO 是△ ADC 的中位线, ∴FO∥AB,FO⊥AC 由三垂线定理可知∠EOF 是二面角 E﹣AC﹣D 的*面角.
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又 FO= AB= PA=EF ∴∠EOF=45°而二面角 E﹣AC﹣B 与二面角 E﹣AC﹣D 互补, 故所求二面角 E﹣AC﹣B 的大小为 135°. 点评: 本题主要考查了直线与*面*行的判定,以及二面角等有关知识,考查空间想象能力、运算能力和推理论 证能力,属于基础题. 20.四棱锥 S﹣ABCD 的底面是边长为 1 的正方形,侧棱 SB 垂直于底面,并且 SB= 的值. ,用 α 表示∠ASD,求 sinα

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www.jyeoo.com 考点: 专题: 分析: 解答: 三垂线定理。 作图题;证明题。 利用三垂线定理说明 DA⊥SA,求出 SD,解三角形 SAD,即可得到 sinα 的值. 解:因为 SB 垂直于底面 ABCD,所以斜线段 SA 在底面上的射影为 AB,由于 DA⊥AB
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所以 DA⊥SA 从而 连接 BD,易知 BD= 所以 因此, 由于 SB⊥BD,

点评: 本题考查三垂线定理,考查学生分析问题解决问题的能力,是基础题. 21. (2000?天津)如图,已知*行六面体 ABCD﹣A1B1C1D1 的底面 ABCD 上菱形,且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD, (1)证明:C1C⊥BD; (2)当 的值为多少时,能使 A1C⊥*面 C1BD?请给出证明.

考点: 棱柱的结构特征;直线与*面垂直的判定。 专题: 计算题;转化思想。 分析: (1)连接 A1C1、AC 和 BD 交于 O,连接 C1O.证明 BD 垂直*面*面 AC1 内的两条相交直线 AC,C1O, 即可证明 C1C⊥BD;
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(2)当

时,能使 A1C⊥*面 C1BD,A1C 与 C1O 相交于 G,说明点 G 是正三角形 C1BD 的中心,

证明 CG⊥*面 C1BD,即可证明 A1C⊥*面 C1BD. 解答: (1)证明:如图,连接 A1C1、AC 和 BD 交于 O,连接 C1O.

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∵四边形 ABCD 是菱形, ∴AC⊥BD,BC=CD. 又∵∠BCC1=∠DCC1,C1C=C1C, ∴△C1BC≌△C1DC, ∴C1B=C1D, ∵DO=OB ∴C1O⊥BD, 分) (3 但 AC⊥BD,AC∩C1O=O, ∴BD⊥*面 AC1, 又 C1C? *面 AC1, ∴C1C⊥BD. 分) (6 (2)当 ∵ , 时,能使 A1C⊥*面 C1BD.

∴BC=CD=C1C, 又∠BCD=∠C1CB=∠C1CD, 由此可推得 BD=C1B=C1D. ∴三棱锥 C﹣C1BD 是正三棱锥. 分) (9 设 A1C 与 C1O 相交于 G. ∵A1C1∥AC,且 A1C1:OC=2:1, ∴C1G:GO=2:1. 又 C1O 是正三角形 C1BD 的 BD 边上的高和中线, ∴点 G 是正三角形 C1BD 的中心, ∴CG⊥*面 C1BD, 即 A1C⊥*面 C1BD. (12 分) 点评: 本小题主要考查直线与直线、直线与*面的关系,逻辑推理能力,考查空间想象能力,是中档题. 22. (2003?上海)已知*行六面体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,A1A⊥*面 ABCD,AB=4,AD=2.若 B1D⊥BC,直线 B1D 与*面 ABCD 所成的角等于 30°,求*行六面体 ABCD﹣A1B1C1D1 的体积.

考点: 棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积。 专题: 计算题;综合法。 分析: 根据题目所给条件,可判断出几何体的高是 A1A,只要求出底面面积即可,根据题意,说明 BC⊥BD.容 易求得底面面积. 解答: 解:连接 BD,因为 B1B⊥*面 ABCD, B1D⊥BC,所以 BC⊥BD.
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www.jyeoo.com 在△ BCD 中,BC=2,CD=4, 所以 BD= . 又因为直线 B1D 与*面 ABCD 所成的角等于 30°, 所以∠B1DB=30°,于是 BB1= BD=2. .

故*行六面体 ABCD﹣A1B1C1D1 的体积为 SABCD?BB1=

点评: 本题考查棱柱的体积,考查空间想象能力,逻辑思维能力,是基础题. 23.A、B、C 是球面上三点,已知弦(连接球面上两点的线段)AB=18cm,BC=24cm,AC=30cm,*面 ABC 与球 心的距离恰好为球半径的一半,求球的表面积和体积.

考点: 球的体积和表面积;球面距离及相关计算。 专题: 计算题。 分析: 根据题意得三角形 ABC 是直角三角形,AC 是斜边,中点为 O′,OA=OB=OC 是半径,求出 OO′,利用 *面 ABC 与球心的距离恰好为球半径的一半,求出半径,即可求出球 O 的表面积和体积. 解答: 解:球面上三点 A、B、C,*面 ABC 与球面交于一个圆,三点 A、B、C 在这个圆上 ∵AB=18,BC=24,AC=30,
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∴AC =AB +BC ,∴AC 为这个圆的直径,AC 中点 O′圆心 球心 O 到*面 ABC 的距离即 OO′=球半径的一半= R △ OO′A 中,∠OO′A=90°,OO′= R,AO′= AC=30× =15,OA=R 由勾股定理( R) +15 =R , R =225
2 2 2 2

2

2

2

解得 R=10 . 2 2 球的表面积 S=4πR =1200π(cm ) ; 和体积 V= =4000 (cm ) .
3

点评: 本题考查球的体积和表面积、空间想象能力,计算能力,确定三角形 ABC 的形状以及利用*面 ABC 与球 心的距离恰好为球半径的一半,是解好本题是前提.是基础题,

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www.jyeoo.com 24. (2012?湖南)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,PA⊥*面 ABCD,底面 ABCD 是等腰梯形,AD∥BC,AC⊥BD. (Ⅰ)证明:BD⊥PC; (Ⅱ)若 AD=4,BC=2,直线 PD 与*面 PAC 所成的角为 30°,求四棱锥 P﹣ABCD 的体积.

考点: 直线与*面垂直的性质;直线与*面所成的角。 专题: 计算题;证明题。 分析: (1)由 PA⊥*面 ABCD,AC⊥BD 可证得 BD⊥*面 PAC,从而证得 BD⊥PC; (2)设 AC∩BD=O,连接 PO,由 BD⊥*面 PAC 可得∠DPO 是直线 PD 和*面 PAC 所成的角,于是 ∠DPO=30°,从而有 PD=2OD,于是可证得△ AOD,△ BOC 均为等腰直角三角形,从而可求得梯形 ABCD
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的高,继而可求 SABCD,VP﹣ABCD. 解答: 解: (Ⅰ)∵PA⊥*面 ABCD,BD? *面 ABCD, ∴PA⊥BD; 又 AC⊥BD,PA,AC 是*面 PAC 内的两条相交直线, ∴BD⊥*面 PAC,而 PC? *面 PAC,∴BD⊥PC; (Ⅱ)设 AC∩BD=O,连接 PO,由(Ⅰ)知 BD⊥*面 PAC, ∴∠DPO 是直线 PD 和*面 PAC 所成的角, ∴∠DPO=30°, 由 BD⊥*面 PAC,PO? *面 PAC 知,BD⊥PO.在 Rt△ POD 中,由∠DPO=30°得 PD=2OD. ∵四边形 ABCD 是等腰梯形,AC⊥BD, ∴△AOD,△ BOC 均为等腰直角三角形,从而梯形 ABCD 的高为 AD+ BC= ×(4+2)=3, 于是 SABCD= ×(4+2)×3=9. 在等腰三角形 AOD 中,OD= ∴PD=2OD=4 ,PA= AD=2 =4, ,

∴VP﹣ABCD= SABCD×PA= ×9×4=12.

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点评: 本题考查直线与*面垂直判定定理与性质性质定理,考查直线与*面所成的角的应用与锥体体积,突出对 分析、推理与计算能力的考查与应用,属于中档题.

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