2012年8月王军霞的高中数学组卷(简单立体几何)

发布时间:2021-12-01 04:31:05

2012 年 8 月王军霞的高中数学组卷(简单立体几何)

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2012 年 8 月王军霞的高中数学组卷(简单立体几何)
一.选择题(共 12 小题) 1.已知点 P 是四边形 ABCD 所在*面外一点,且 P 到这个四边形各边的距离相等,那么这个四边形一定是( A.圆内接四边形 B.矩形 C.圆外切四边形 D.*行四边形 )

2. (2005?重庆)有一塔形几何体由若干个正方体构成,构成方式如图所示,上层正方体下底面的四个顶点是下层 正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为 2,且该塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)超过 39,则该塔形中正方体的个数至少是( )

A.4

B.5

C.6

D.7

3. (文)将图所示的一个直角三角形 ABC(∠C=90°)绕斜边 AB 旋转一周,所得到的几何体的正视图是下面四个 图形中的( )

A.

B.

C.

D.

4. (2004?湖北)如图是正方体的*面展开图.在这个正方形中, ①BM 与 ED *行; ②CN 与 BE 是异面直线; ③CN 与 BM 成 60°角; ④DM 与 BN 垂直. 以上四个命题中,正确命题的序号是( )

A.①②③

B.②④

C.③④

D.②③④

5.如图在正四棱锥 S﹣ABCD 中,E 是 BC 的中点,P 点在侧面△ SCD 内及其边界上运动,并且总是保持 PE⊥AC, 则动点 P 的轨迹与△ SCD 组成的相关图形是( )

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A.

B.

C.

D.

6.如图,下列几何体为台体的是(



A.①②

B.①③

C.④

D.①④ )

7.如图所示,甲、乙、丙是三个几何体图形的三视图,甲、乙、丙对应的标号正确的是(

①长方体;②圆锥;③三棱锥;④圆柱. A.④③② B.②①③

C.①②③

D.③②④ )

8.如图,△ ABC 的斜二侧直观图为等腰 Rt△ A'B'C',其中 A'B'=2,则△ ABC 的面积为(

A.2

B.4

C.

D. )

9.如图所示的直观图是将正方体模型放置在你的水*视线的左上角而绘制的,其中正确的是( A. B. C. D.

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www.jyeoo.com 10.如果一个水*放置的图形的斜二测直观图是一个底面为 45°,腰和上底均为 1 的等腰梯形,那么原*面图形的

面积是( A.2+

) B. C. D.1+

11. (2008?湖南) (文)长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的 8 个顶点在同一个球面上,且 AB=2,AD= 点 A、B 间的球面距离是( )

,AA1=1,则顶

A.

B.

C.

D.2

12. (2007?湖南)如图,在正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E、F 分别是 AB1、BC1 的中点,则以下结论中不成立 的是( )

A.EF 与 BB1 垂直

B.EF 与 BD 垂直

C.EF 与 CD 异面

D.EF 与 A1C1 异面

二.填空题(共 6 小题) 13. (2005?安徽)在正方体 ABCD﹣A′B′C′D′中,过对角线 BD′的一个*面交 AA′于 E,交 CC′于 F, 则 ①四边形 BFD′E 一定是*行四边形; ②四边形 BFD′E 有可能是正方形; ③四边形 BFD′E 在底面 ABCD 内的投影一定是正方形; ④*面 BFD′E 有可能垂直于*面 BB′D. 以上结论正确的为 _________ . (写出所有正确结论的编号)

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14. (2004?浙江)已知*面 α⊥β,α∩β=l,P 是空间一点,且 P 到 α、β 的距离分别是 1、2,则点 P 到 l 的距离为 _________ . 15. (2010?四川)如图,二面角 α﹣l﹣β 的大小是 60°,线段 AB? α.B∈l,AB 与 l 所成的角为 30°.则 AB 与*面 β 所成的角的正弦值是 _________ .

16.如图,PA⊥⊙O 所在的*面,AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上的一点,AE⊥PB 于 E,AF⊥PC 于 F, 下列四个命题中: ①BC⊥面 PAC; ②AF⊥面 PBC; ③EF⊥PB; ④AE⊥面 PBC. 其中正确命题的是 _________ . (请写出所有正确命题的序号)

17.四棱锥 P﹣ABCD 的底面 ABCD 是边长为 a 的正方形,侧棱 PA=a, 的面是 _________ .

,则它的五个面中,互相垂直

18.如图,△ ABC 是正三角形,E、F 分别为线段 AB、AC 上的动点,现将△ AEF 沿 EF 折起,使*面 AEF⊥*面 BCF,设 =λ,当 AE⊥CF 时,λ 的值为 _________ .

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三.解答题(共 6 小题) 19. (2010?四川)已知正方体 ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为 1,点 M 是棱 AA′的中点,点 O 是对角线 BD′ 的中点. (Ⅰ)求证:OM 为异面直线 AA′和 BD′的公垂线; (Ⅱ)求二面角 M﹣BC′﹣B′的大小; (Ⅲ)求三棱锥 M﹣OBC 的体积.

20.若一个球的外切圆锥的高是这个球的直径的两倍,求圆锥的全面积与球的表面积之比.

21. (2012?上海)如图,正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 的底面边长为 1,高为 2,M 为线段 AB 的中点. 求: (1)三棱锥 C1﹣MBC 的体积; (2)异面直线 CD 与 MC1 所成角的大小(结果用反三角函数值表示) .

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www.jyeoo.com 22. (2010?湖北)如图,在四面体 ABOC 中,OC⊥OA,OC⊥OB,∠AOB=120°,且 OA=OB=OC=1 (Ⅰ)设为 P 为 AC 的中点,Q 为 AB 上一点,使 PQ⊥OA,并计算 (Ⅱ)求二面角 O﹣AC﹣B 的*面角的余弦值. 的值;

23.如图 1 是一个直三棱柱(以 A1B1C1 为底面)被一*面所截得到的几何体,截面为 ABC.已知 A1B1=B1C1=1, ∠A1B1C1=90°,AA1=4,BB1=2, .求此几何体的体积.

24.在直角梯形 ABCD 中,∠A=∠D=90°,AB<CD,SD⊥*面 ABCD,AB=AD=a,S D= 一点 E(不含端点)使 EC=AC,截面 CDE 与 SB 交于点 F. (1)求证:四边形 EFCD 为直角梯形; (2)设 SB 的中点为 M,当 的值是多少时,能使△ DMC 为直角三角形?请给出证明.

,在线段 SA 上取

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2012 年 8 月王军霞的高中数学组卷(简单立体几何)
参考答案与试题解析
一.选择题(共 12 小题) 1.已知点 P 是四边形 ABCD 所在*面外一点,且 P 到这个四边形各边的距离相等,那么这个四边形一定是( A.圆内接四边形 B.矩形 C.圆外切四边形 D.*行四边形



考点: 三垂线定理。 专题: 计算题。 分析: 由 P 到这个四边形各边的距离相等,可得对应射影长相等,既射影到各边的距离相等,得四边形为圆外切 四边形 解答: 解:如图因为 PB=PE=PF=PA,所以 OA=OB=OE=OF, 即 O 到各边距离相等, 所以四边形为圆外切四边形 故选 C
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点评: 从同一点出发的斜线段相等,对应射影长相等,在立体几何的证明中很常用,但应注意是同一点出发 2. (2005?重庆)有一塔形几何体由若干个正方体构成,构成方式如图所示,上层正方体下底面的四个顶点是下层 正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为 2,且该塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)超过 39,则该塔形中正方体的个数至少是( )

A.4

B.5

C.6

D.7

考点: 组合几何体的面积、体积问题;等比数列的前 n 项和。 专题: 计算题。 分析: 求出各个层的正方体的表面积,求出它们的和,该塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)超过 39, 求出正方体的个数至少个数.
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www.jyeoo.com 解答: 解:底层正方体的表面积为 24;第 2 层正方体的棱长 的棱长为 个面的面积为 ,每个面的面积为 ; ,每个面的面积为 ;┉,第 n 层正方体的棱长为 ;第 3 层正方体 ,每

若该塔形为 n 层,则它的表面积为 24+4[ + +┉+ ]=40

因为该塔形的表面积超过 39,所以该塔形中正方体的个数至少是 6. 故选 C 点评: 本题是中档题,考查计算能力,数列求和的知识,正确就是解好数学问题的关键,常考题型. 3. (文)将图所示的一个直角三角形 ABC(∠C=90°)绕斜边 AB 旋转一周,所得到的几何体的正视图是下面四个 图形中的( )

A.

B.

C.

D.

考点: 构成空间几何体的基本元素;由三视图求面积、体积。 专题: 计算题。 分析: 应先得到旋转后得到的几何体,它是一个是两个圆锥的组合体,找到从正面看所得到的图形即可得到得到 的几何体的正视图. 解答: 解:绕斜边 AB 旋转一周,所得到的几何体是两个圆锥的组合体,它的正视图是两个等腰三角形,三角形 之间有一条虚线段,故选 B. 点评: 本题考查了构成空间几何体的基本元素、三视图的知识,正视图是从物体的正面看得到的视图.
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4. (2004?湖北)如图是正方体的*面展开图.在这个正方形中, ①BM 与 ED *行; ②CN 与 BE 是异面直线; ③CN 与 BM 成 60°角; ④DM 与 BN 垂直. 以上四个命题中,正确命题的序号是( )

A.①②③ 考点: 棱柱的结构特征。 专题: 作图题。

B.②④

C.③④

D.②③④

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www.jyeoo.com 分析: 正方体的*面展开图复原为正方体,不难解答本题. 解答: 解:由题意画出正方体的图形如图: 显然①②不正确;③CN 与 BM 成 60°角,即∠ANC=60° 正确;④DM⊥*面 BCN,所以④正确; 故选 C.

点评: 本题考查正方体的结构特征,异面直线,直线与直线所成的角,直线与直线的垂直,是基础题. 5.如图在正四棱锥 S﹣ABCD 中,E 是 BC 的中点,P 点在侧面△ SCD 内及其边界上运动,并且总是保持 PE⊥AC, 则动点 P 的轨迹与△ SCD 组成的相关图形是( )

A.

B.

C.

D.

考点: 专题: 分析: 解答:

棱锥的结构特征。 证明题;探究型。 总保持 PE⊥AC,那么 AC 垂直 PE 所在的一个*面,AC⊥*面 SBD,不难推出结果. 解:取 CD 中点 F,AC⊥EF,又∵SB 在面 ABCD 内的射影为 BD 且 AC⊥BD,∴AC⊥SB,取 SC 中点 Q, ∴EQ∥SB, ∴AC⊥EQ,又 AC⊥EF,∴AC⊥面 EQF,因此点 P 在 FQ 上移动时总有 AC⊥EP. 故选 A. 点评: 本题考查学生应用线面垂直的知识,考查空间想象能力,逻辑思维能力,是中档题.
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6.如图,下列几何体为台体的是(



A.①② 考点: 棱台的结构特征。 专题: 综合题。

B.①③

C.④

D.①④

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www.jyeoo.com 分析: 根据台体的定义,直接判断①②③④,即可得到正确选项. 解答: 解:由棱台的定义,可知①侧棱不交于一点不正确,②上下两个面不*行,不正确;④满足定义正确;圆 台的定义判断③上下两个面不*行,不正确. 故选 C. 点评: 本题考查棱台的结构特征,考查空间想象能力,是基础题. 7.如图所示,甲、乙、丙是三个几何体图形的三视图,甲、乙、丙对应的标号正确的是( )

①长方体;②圆锥;③三棱锥;④圆柱. A.④③② B.②①③ 考点: 专题: 分析: 解答:

C.①②③

D.③②④

由三视图还原实物图。 图表型。 由俯视图结合其它两个视图可以看出,几何体分别是圆柱、三棱锥和圆锥. 解:根据三视图从不同角度知,甲、乙、丙对应的几何体分别是圆柱、三棱锥和圆锥, 故选 A. 点评: 本题的考点是由三视图还原几何体,需要仔细分析、认真观察三视图进行充分想象,然后综合三视图,从 不同角度去还原,考查了观察能力和空间想象能力.
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8.如图,△ ABC 的斜二侧直观图为等腰 Rt△ A'B'C',其中 A'B'=2,则△ ABC 的面积为(



A.2

B.4

C.

D.

考点: *面图形的直观图。 专题: 计算题。 分析: 根据所给的直观图是一个等腰直角三角形且直角边长是 2, 求出直观图的面积, 根据*面图形的面积是直观 图的 2 倍,得到结果. 解答: 解:∵Rt△ O'A'B'是一*面图形的直观图,直角边长为 A'B'=2,
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∴直角三角形的面积是



因为*面图形与直观图的面积的比为 2 , ∴原*面图形的面积是 2×2 =4 故选 D. 点评: 本题考查*面图形的直观图,考查直观图与*面图形的面积之间的关系,考查直角三角形的面积,是一个 基础题,注意*面图形与直观图的面积的比为 2 是解题的关键. 9.如图所示的直观图是将正方体模型放置在你的水*视线的左上角而绘制的,其中正确的是(
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www.jyeoo.com A. B. C. D.

考点: 空间几何体的直观图。 专题: 作图题。 分析: 根据把模型放在水*视线的左上角绘制的特点,并且由几何体的直观图画法及主体图形中虚线的使用,得 到结果. 解答: 解:根据把模型放在水*视线的左上角绘制的特点, 并且由几何体的直观图画法及主体图形中虚线的使用,知 A 正确. 故选 A 点评: 本题考查空间几何体的直观图,考查直观图的画法,要弄清楚正方形模型所放置的位置,本题是一个最基 础的题目.
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10.如果一个水*放置的图形的斜二测直观图是一个底面为 45°,腰和上底均为 1 的等腰梯形,那么原*面图形的

面积是( A.2+

) B. C. D.1+

考点: 斜二测法画直观图。 专题: 计算题;作图题。 分析: 原图为直角梯形,上底为 1,高为 2,下底为 1+ ,利用梯形面积公式求解即可.也可利用原图和直观图 的面积关系求解. 解答: 解:恢复后的原图形为一直角梯形,上底为 1,高为 2,下底为 1+ ,S= (1+ +1)×2=2+ .
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故选 A 点评: 本题考查水*放置的*面图形的直观图斜二测画法,属基础知识的考查. 11. (2008?湖南) (文)长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的 8 个顶点在同一个球面上,且 AB=2,AD= 点 A、B 间的球面距离是( ) ,AA1=1,则顶

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www.jyeoo.com A. B. C. D.2

考点: 专题: 分析: 解答:

球内接多面体。 计算题;综合题。 先求长方体的对角线,就是球的直径,再求 AB 的球心角,然后求 A、B 间的球面距离.
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解:∵ 设 BD1∩AC1=O,则 ∴ ,

,∴ ,

, ,

故选 B 点评: 本题考查球的内接体问题,考查学生空间想象能力,逻辑思维能力,是基础题. 12. (2007?湖南)如图,在正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E、F 分别是 AB1、BC1 的中点,则以下结论中不成立 的是( )

A.EF 与 BB1 垂直 考点: 专题: 分析: 解答: 异面直线的判定。 作图题;综合题。

B.EF 与 BD 垂直

C.EF 与 CD 异面

D.EF 与 A1C1 异面

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观察正方体的图形,连 B1C,则 B1C 交 BC1 于 F 且 F 为 BC1 中点,推出 EF∥A1C1;分析可得答案. 解:连 B1C,则 B1C 交 BC1 于 F 且 F 为 BC1 中点,三角 形 B1AC 中 EF ,所以 EF∥*面 ABCD,而 B1B⊥面 ABCD,

所以 EF 与 BB1 垂直;又 AC⊥BD,所以 EF 与 BD 垂直,EF 与 CD 异面. 由 EF ,AC∥A1C1 得 EF∥A1C1

故选 D. 点评: 本题考查异面直线的判定,考查空间想象能力,是基础题. 二.填空题(共 6 小题) 13. (2005?安徽)在正方体 ABCD﹣A′B′C′D′中,过对角线 BD′的一个*面交 AA′于 E,交 CC′于 F, 则 ①四边形 BFD′E 一定是*行四边形; ②四边形 BFD′E 有可能是正方形; ③四边形 BFD′E 在底面 ABCD 内的投影一定是正方形; ④*面 BFD′E 有可能垂直于*面 BB′D.

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www.jyeoo.com 以上结论正确的为 ①③④ . (写出所有正确结论的编号)

考点: 空间中直线与直线之间的位置关系;空间中直线与*面之间的位置关系。 分析: 由*行*面的性质可得①是正确的,当 E、F 为棱中点时,四边形为菱形,但不可能为正方形,故③④正确, ②错误. 解答: 解: / / / / / / ①:∵*面 AB ∥*面 DC ,*面 BFD′E∩*面 AB =EB,*面 BFD′E∩*面 DC =D F,∴EB∥D F,同 / 理可证:D E∥FB,故四边形 BFD′E 一定是*行四边形,即①正确; ②:当 E、F 为棱中点时,四边形为菱形,但不可能为正方形,故②错误; ③:四边形 BFD′E 在底面 ABCD 内的投影为四边形 ABCD,所以一定是正方形,即③正确; ④:当 E、F 为棱中点时,EF⊥*面 BB′D,又∵EF? *面 BFD′E,∴此时:*面 BFD′E⊥*面 BB′D, 即④正确. 故答案为:①③④ 点评: 本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系,空间中直线与*面之间的位置关系,*面与*面之间 的位置关系,考查空间想象能力和思维能力.
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14. (2004?浙江)已知*面 α⊥β,α∩β=l,P 是空间一点,且 P 到 α、β 的距离分别是 1、2,则点 P 到 l 的距离为 . 考点: 空间中直线与*面之间的位置关系;*面的基本性质及推论。 专题: 计算题。 分析: 本题考查的知识点是空间点到线的距离,由*面 α⊥β,α∩β=l,我们可以构造一个直角三角形,然后根据 勾股定理,易求出点 P 到 l 的距离. 解答: 解:∵*面 α⊥β,α∩β=l, 又∵P 到 α、β 的距离分别是 1、2
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∴点 P 到 l 的距离 d=

=

故答案为: 点评: 我们在解决空间中点到线的距离问题时,一般可将空间问题转化为*面问题,即做出垂线段后,构造相应 的三角形,通过解三角形的办法求点到直线的距离. 15. (2010?四川)如图,二面角 α﹣l﹣β 的大小是 60°,线段 AB? α.B∈l,AB 与 l 所成的角为 30°.则 AB 与*面 β 所成的角的正弦值是 .

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www.jyeoo.com 考点: *面与*面之间的位置关系;与二面角有关的立体几何综合题。 专题: 计算题。 分析: 过点 A 作*面 β 的垂线,垂足为 C,在 β 内过 C 作 l 的垂线.垂足为 D,连接 AD,从而∠ADC 为二面角 α﹣l﹣β 的*面角,连接 CB,则∠ABC 为 AB 与*面 β 所成的角,在直角三角形 ABC 中求出此角即可. 解答: 解:过点 A 作*面 β 的垂线,垂足为 C, 在 β 内过 C 作 l 的垂线.垂足为 D 连接 AD,有三垂线定理可知 AD⊥l, 故∠ADC 为二面角 α﹣l﹣β 的*面角,为 60° 又由已知,∠ABD=30° 连接 CB,则∠ABC 为 AB 与*面 β 所成的角 设 AD=2,则 AC= ,CD=1
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AB=

=4 ;

∴sin∠ABC= 故答案为 .

点评: 本题主要考查了*面与*面之间的位置关系,以及直线与*面所成角,考查空间想象能力、运算能力和推 理论证能力,属于基础题. 16.如图,PA⊥⊙O 所在的*面,AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上的一点,AE⊥PB 于 E,AF⊥PC 于 F, 下列四个命题中: ①BC⊥面 PAC; ②AF⊥面 PBC; ③EF⊥PB; ④AE⊥面 PBC. 其中正确命题的是 ①②③ . (请写出所有正确命题的序号)

考点: 直线与*面垂直的判定。 分析: 根据已知中,PA⊥⊙O 所在的*面,AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上的一点,AE⊥PB 于 E,AF⊥PC 于 F, 结合线面垂直的判定定理,我们逐一对已知中的四个结论进行判定,即可得到答案. 解答: 解:∵PA⊥⊙O 所在的*面, ∴PA⊥BC, 又∵AB 是⊙O 的直径 ∴AC⊥BC,由线面垂直的判定定理,可得 BC⊥面 PAC,故①正确; 又由 AF? *面 PAC ∴AF⊥BC,结合 AF⊥PC 于 F,
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www.jyeoo.com 由线面垂直的判定定理,可得 AF⊥面 PBC,故②正确; 又∵AE⊥PB 于 E,结合②的结论 我们易得 EF⊥*面 PAB 由 PB? *面 PAB,可得 PB⊥EF,故③正确; 由②的结论,及过一点有且只一条直线与已知*面垂直,故④错误; 故答案为:①②③ 点评: 本题考查的知识点是直线与*面垂直的判定,其中熟练掌握线面垂直的判定定理,是解答本题的关键. 17.四棱锥 P﹣ABCD 的底面 ABCD 是边长为 a 的正方形,侧棱 PA=a, 的面是 面 PAB⊥面 PAD,面 PAD⊥面 ABCD,面 PAD⊥面 PCD . ,则它的五个面中,互相垂直

考点: *面与*面垂直的判定。 专题: 证明题。 分析: 先根据 AB, PB 的长判断 PA⊥AB, AP, 同时 AD⊥AB 判断出 AB⊥*面 PAD, 进而推断出面 PAB⊥面 PAD, 面 PAD⊥面 ABCD;利用 CD∥AB 推断出 CD⊥*面 PAD 进而可知面 PAD⊥面 PCD. 解答: 解:∵AB=AP=a,PB= a 2 2 2 ∴AB +AP =PB , ∴PA⊥AB ∵AD⊥AB
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∴AB⊥*面 PAD, ∵AB? *面 ABCD,AB? *面 PAB ∴面 PAB⊥面 PAD,面 PAD⊥面 ABCD, ∵CD∥AB ∴CD⊥*面 PAD ∵CD? PDC 面 ∴面 PAD⊥面 PCD 故答案为面 PAB⊥面 PAD,面 PAD⊥面 ABCD,面 PAD⊥面 PCD 点评: 本题主要考查了*面与*面的垂直的判定.考查了学生对立体几何基础知识的掌握. 18.如图,△ ABC 是正三角形,E、F 分别为线段 AB、AC 上的动点,现将△ AEF 沿 EF 折起,使*面 AEF⊥*面 BCF,设 =λ,当 AE⊥CF 时,λ 的值为 或2 .

考点: *面与*面垂直的性质;元素与集合关系的判断。 专题: 计算题。

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www.jyeoo.com 分析: 过 A 作 AH 垂直 EF 于 H,可证得 AH 垂直于面 BCFE,即得 AH 垂直于 CF,又 AE 垂直 CF,故可证得 CF 垂直于面 AEF, 所以 CF 垂直于 EF, 由原图可以看出, 此时 H 必与 F 重合, 则∠AFE 是个直角, 所以∠AEF=30° 角,所以 AE=2AF,故 λ=2,又当 AE 垂直于底面时显然满足题意,此时有 AF=2AE,综合可得答案. 解答: 解:如图过 A 作 AH⊥EF 于 H,可证得 AH⊥面 BCFE,即得 AH 垂直于 CF, 又 AE⊥CF,故可证得 CF 垂⊥AEF, ∴CF⊥EF,由原图可以看出,此时 H 必与 F 重合,则∠AFE 是个直角, ∴∠AEF=30°, ∴AE=2AF,故 λ=2, 又当 AE 垂直于底面时显然满足题意, 此时有 AF=2AE,故此情况下有 λ= 综上知应填 2 或 .

点评: 本题考查面面垂直及线面垂直的判定与性质, 是一个知识性较强的题, 在本题中 AE 垂直于底面这种情况容 易遗漏,是个易失分点. 三.解答题(共 6 小题) 19. (2010?四川)已知正方体 ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为 1,点 M 是棱 AA′的中点,点 O 是对角线 BD′ 的中点. (Ⅰ)求证:OM 为异面直线 AA′和 BD′的公垂线; (Ⅱ)求二面角 M﹣BC′﹣B′的大小; (Ⅲ)求三棱锥 M﹣OBC 的体积.

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;异面直线的判定;直线与*面垂直的判定;与二面角有关的立体几何综合题。 专题: 计算题;综合题;转化思想。 分析: (Ⅰ)连接 AC,取 AC 中点 K,则 K 为 BD 的中点,连接 OK,证明 MO⊥AA′,MO⊥BD′ OM 是异面直线 AA′和 BD′都相交,即可证明 OM 为异面直线 AA′和 BD′的公垂线; (Ⅱ)取 BB′中点 N,连接 MN,则 MN⊥*面 BCC′B′,过点 N 作 NH⊥BC′于 H,连接 MH,说明 ∠MHN 为二面角 M﹣BC′﹣B′的*面角,解三角形求二面角 M﹣BC′﹣B′的大小;
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(Ⅲ)利用 VM﹣OBC=VM﹣OA’D’=VO﹣MA’D’,求出 S△ MA’D’以及 O 到*面 MA′D′距离 h,即可求三棱锥 M ﹣OBC 的体积. 解答: 解: (Ⅰ)连接 AC,取 AC 中点 K,则 K 为 BD 的中点,连接 OK 因为 M 是棱 AA′的中点,点 O 是 BD′的中点
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www.jyeoo.com 所以 AM 所以 MO 由 AA′⊥AK,得 MO⊥AA′ 因为 AK⊥BD,AK⊥BB′,所以 AK⊥*面 BDD′B′ 所以 AK⊥BD′ 所以 MO⊥BD′ 又因为 OM 是异面直线 AA′和 BD′都相交 故 OM 为异面直线 AA′和 BD′的公垂线 (Ⅱ)取 BB′中点 N,连接 MN,则 MN⊥*面 BCC′B′ 过点 N 作 NH⊥BC′于 H,连接 MH 则由三垂线定理得 BC’⊥MH 从而,∠MHN 为二面角 M﹣BC′﹣B′的*面角 MN=1,NH=Bnsin45°= 在 Rt△ MNH 中,tan∠MHN=

故二面角 M﹣BC′﹣B′的大小为 arctan2 (Ⅲ)易知,S△ OBC=S△ OA’D’,且△ OBC 和△ OA′D′都在*面 BCD′A′内 点 O 到*面 MA′D′距离 h= VM﹣OBC=VM﹣OA’D’=VO﹣MA’D’= S△ MA’D’h=

点评: 本小题主要考查异面直线、直线与*面垂直、二面角、正方体、三棱锥体积等基础知识,并考查空间想象 能力和逻辑推理能力,考查应用向量知识解决数学问题的能力. 20.若一个球的外切圆锥的高是这个球的直径的两倍,求圆锥的全面积与球的表面积之比.

考点: 球的体积和表面积;棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积。
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www.jyeoo.com 专题: 计算题。 分析: 设出球的半径,利用三角形相似,求出圆锥的底面半径,然后求出球的表面积,圆锥的全面积,即可得到 比值. 解答: 解:设球的半径为:1;圆锥的高为:4 则圆锥的底面半径为:r 由△ POD∽△PO1B 即 所以 r= 圆锥的全面积为:2π+ =8π

球的表面积为:4π 所以圆锥的全面积与球的表面积之比:2.

点评: 本题考查圆锥的内接球,考查二者的表面积,画出图形,找出二者的关系是解题的关键,利用相似是中学 数学解题的一个特色,本题考查计算能力,是基础题. 21. (2012?上海)如图,正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 的底面边长为 1,高为 2,M 为线段 AB 的中点. 求: (1)三棱锥 C1﹣MBC 的体积; (2)异面直线 CD 与 MC1 所成角的大小(结果用反三角函数值表示) .

考点: 异面直线及其所成的角;棱柱、棱锥、棱台的体积。 专题: 计算题;证明题。 分析: (1) 连接 CM, 根据 M 为 AB 中点, 且正方形 ABCD 边长为 1, 得到△ BCM 的面积为 S= S 正方形 ABCD= . 因
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为 CC1⊥*面 ABCD,是三棱锥 C1﹣MBC 的高,所以利用锥体体积公式,可得三棱锥 C1﹣MBC 的体积; (2)连接 BC1,正方形 ABCD 中,因为 CD∥AB,所以∠C1MB(或其补角)为异面直线 CD 与 MC1 所成

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www.jyeoo.com 的角.Rt△ MC1B 中,可算出 BC1= tan∠C1MB= = ,而 MB= AB= ,利用直角三角形中三角函数的定义,得到 .

,所以异面直线 CD 与 MC1 所成角为 arctan

解答: 解: (1)连接 CM, ∵正方形 ABCD 中,M 为 AB 中点,且边长为 1, ∴△BCM 的面积为 S= S 正方形 ABCD= . 又∵CC1⊥*面 ABCD, ∴CC1 是三棱锥 C1﹣MBC 的高, ∴三棱锥 C1﹣MBC 的体积为:VC1﹣MBC= × ×2= ; (2)连接 BC1 ∵CD∥AB, ∴∠C1MB(或其补角)为异面直线 CD 与 MC1 所成的角. ∵AB⊥*面 B1C1CB,BC1? *面 B1C1CB, ∴AB⊥BC1. Rt△ MC1B 中,BC1= ∴tan∠C1MB= = . = ,MB= AB=

所以异面直线 CD 与 MC1 所成角为 arctan

点评: 本题给出一个特殊的正三棱柱,求其中的异面直线所成角和三棱锥体积,着重考查了棱锥的体积公式和异 面直线及其所成的角等知识点,属于中档题. 22. (2010?湖北)如图,在四面体 ABOC 中,OC⊥OA,OC⊥OB,∠AOB=120°,且 OA=OB=OC=1 (Ⅰ)设为 P 为 AC 的中点,Q 为 AB 上一点,使 PQ⊥OA,并计算 (Ⅱ)求二面角 O﹣AC﹣B 的*面角的余弦值. 的值;

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考点: *面与*面之间的位置关系。 专题: 计算题。 分析: 解法一: (1)要计算 的值,我们可在*面 OAB 内作 ON⊥OA 交 AB 于 N,连接 NC.则根据已知条件结
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合*面几何中三角形的性质我们易得 NB=ON=AQ,则易求出

的值.

(2)要求二面角 O﹣AC﹣B 的*面角的余弦值,我们可连接 PN,PO,根据三垂线定理,易得∠OPN 为二 面角 O﹣AC﹣B 的*面角,然后解三角形 OPN 得到二面角 O﹣AC﹣B 的*面角的余弦值. 解法二:取 O 为坐标原点,分别以 OA,OC 所在的直线为 x 轴,z 轴,建立空间直角坐标系 O﹣xyz,我们 易根据已知给出四面体中各点的坐标,利用向量法进行求解, (1)由 A、Q、B 三点共线,我们可设 ,然后根据已知条件,构造关于 λ 的方程,解方程即可得到 λ 的值,即 的

值; (2)要求二面角 O﹣AC﹣B 的*面角的余弦值,我们可以分别求出*面 OAC 及*面 ABC 的法向量,然 后根据求二面角 O﹣AC﹣B 的*面角的余弦值等于两个法向量夹角余弦的绝对值进行求解. 解答: 解:法一: (Ⅰ)在*面 OAB 内作 ON⊥OA 交 AB 于 N,连接 NC. 又 OA⊥OC,∴OA⊥*面 ONC ∵NC? *面 ONC, ∴OA⊥NC. 取 Q 为 AN 的中点,则 PQ∥NC. ∴PQ⊥OA 在等腰△ AOB 中,∠AOB=120°, ∴∠OAB=∠OBA=30° 在 Rt△ AON 中,∠OAN=30°, ∴ 在△ ONB 中,∠NOB=120°﹣90°=30°=∠NBO, ∴NB=ON=AQ. ∴

解: (Ⅱ)连接 PN,PO, 由 OC⊥OA,OC⊥OB 知:OC⊥*面 OAB. 又 ON? OAB, ∴OC⊥ON 又由 ON⊥OA,ON⊥*面 AOC. ∴OP 是 NP 在*面 AOC 内的射影.
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www.jyeoo.com 在等腰 Rt△ COA 中,P 为 AC 的中点, ∴AC⊥OP 根据三垂线定理,知: ∴AC⊥NP ∴∠OPN 为二面角 O﹣AC﹣B 的*面角 在等腰 Rt△ COA 中,OC=OA=1,∴ 在 Rt△ AON 中, ∴在 Rt△ PON 中, , .



解法二: (I)取 O 为坐标原点,分别以 OA,OC 所在的直线为 x 轴,z 轴, 建立空间直角坐标系 O﹣xyz(如图所示) 则 ∵P 为 AC 中点,∴ 设 ∴ ∴ ∵ ∴ 所以存在点 , 即 , . . , ,且 , . ,∵ . ,

使得 PQ⊥OA 且

(Ⅱ)记*面 ABC 的法向量为 =(n1,n2,n3) ,则由



,故可取

又*面 OAC 的法向量为 =(0,1,0) . ∴cos< , >= 两面角 O﹣AC﹣B 的*面角是锐角,记为 θ,则 .

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点评: 空间两条直线夹角的余弦值等于他们方向向量夹角余弦值的绝对值; 空间直线与*面夹角的余弦值等于直线的方向向量与*面的法向量夹角的正弦值; 空间锐二面角的余弦值等于他的两个半*面方向向量夹角余弦值的绝对值; 23.如图 1 是一个直三棱柱(以 A1B1C1 为底面)被一*面所截得到的几何体,截面为 ABC.已知 A1B1=B1C1=1, ∠A1B1C1=90°,AA1=4,BB1=2, .求此几何体的体积.

考点: 组合几何体的面积、体积问题。 专题: 分割补形法。 分析: 因原几何体是不规则几何体,故需要用割补法进行求解,过 B 作截面 BA2C2∥面 A1B1C1,则几何体分成三 棱柱和四棱锥,由题意求出四棱锥的高,代入对应的体积公式分别求出它们的体积,最后要加在一起. 解答: 解:过 B 作截面 BA2C2∥面 A1B1C1,分别交 AA1,CC1 于 A2,C2.如图 2, 则原几何体可视为四棱锥 B﹣ACC2A2 与三棱柱 A1B1C1﹣A2BC2 的组合体. 作 BH⊥A2C2 于 H,则 BH 是四棱锥的高,
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∵A1B1=B1C1=1,∠A1B1C1=90°,∴BH= ∴ ∴ = =

, ? =

?BH= ? ?(1+2) ﹣BB1=1,

故所求几何体体积为 . 点评: 本题考查了用割补法求简单几何体的体积,即根据几何体的特征对几何体进行适当的割补后,通过题意求 出每部分的体积,再加在一起即可,考查了空间想象能力.

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www.jyeoo.com 24.在直角梯形 ABCD 中,∠A=∠D=90°,AB<CD,SD⊥*面 ABCD,AB=AD=a,S D= 一点 E(不含端点)使 EC=AC,截面 CDE 与 SB 交于点 F. (1)求证:四边形 EFCD 为直角梯形; (2)设 SB 的中点为 M,当 的值是多少时,能使△ DMC 为直角三角形?请给出证明. ,在线段 SA 上取

考点: 棱锥的结构特征。 专题: 计算题;证明题。 分析: (1)由 CD∥AB,AB? *面 SAB,知 CD∥*面 SAB,面 EFCD∩面 SAB=EF,CD∥EF.由∠D=90°,知 CD⊥AD,SD⊥面 ABCD.由此能够证明 EFCD 为直角梯形.
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(2)当

时,△ DMC 为直角三角形.由 AB=a,知



SD⊥*面 ABCD,SD⊥BC,BC⊥*面 SBD.由此结合几何知识进行求解. 解答: 解: (1)∵CD∥AB,AB? *面 SAB, ∴CD∥*面 SAB 面 EFCD∩面 SAB=EF, ∴CD∥EF. ∵∠D=90°, ∴CD⊥AD, 又 SD⊥面 ABCD, ∴SD⊥CD, ∴CD⊥*面 SAD, ∴CD⊥ED 又 EF<AB<CD, ∴EFCD 为直角梯形. (2)当 ∵AB=a, ∴ , 时,△ DMC 为直角三角形.

∴ , ∴SD⊥*面 ABCD, ∴SD⊥BC, ∴BC⊥*面 SBD. 在△ SBD 中,SD=DB,M 为 SB 中点, ∴MD⊥SB. ∴MD⊥*面 SBC,MC? *面 SBC, ∴MD⊥MC, ∴△DMC 为直角三角形. 点评: 本题考查棱锥的结构特征,解题时要认真审题,仔细解答,注意空间几何体的合理转化.

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