2012年8月王军霞的高中数学组卷(微积分)

发布时间:2021-12-01 05:02:09

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2012 年 8 月王军霞的高中数学组卷(微积分)
一.选择题(共 12 小题) 1. (2010?辽宁)已知点 P 在曲线 y= A. [0, ) B. 上,α 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角,则 α 的取值范围是( C. D. )

2. (2010?江西)若 f(x)=ax +bx +c 满足 f′(1)=2,则 f′(﹣1)=( A.﹣4 B.﹣2 C.2 3. (2011?江西)若 f(x)=x ﹣2x﹣4lnx,则 f′(x)>0 的解集为( A.(0,+∞) B.(﹣1,0)∪(2,+∞)C.(2,+∞) 4.函数 y=x ?a (1≠a>0)的导数是( A.5x4?axlna C. 5x4?ax+x5?ax
5 x 2

4

2

) D.4 ) D.(﹣1,0)

) B. 5x4?ax+x5?axlna D.5x4?ax+x5?axlogax 的导函数 f'(x)的图象,只需将 f(x)的图象( )

5.要得到函数 A. 向右*移 B. C. 向左*移 向右*移

个单位,再把各点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变) 个单位,再把各点的纵坐标缩短到原来的 2 倍(横坐标不变) 个单位,再把各点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变) 个单位,再把各点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变)

D. 向左*移

6.已知某函数的导数为 y′= A.y=ln B.y=ln

,则这个函数可能是(

) D.y=ln

C.y=ln(1﹣x)

7. (2009?福建) A.π

(1+cosx)dx 等于( B.2

) C.π﹣2 ) D. D.π+2

8.曲线 y=sinx 与直线 y= A.

x 所围成的*面图形的面积是( B. C.

9.定积分

的值为(


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10.已知函数 f(x)的定义域为[﹣2,4],且 f(4)=f(﹣2)=1,f′(x)为 f(x)的导函数,函数 y=f′(x) 的图象如图所示,则*面区域 f(2a+b)<1(a≥0,b≥0)所围成的面积是( )

A.2

B.4

C.5 )

D.8

11. (2011?杭州)如图是导函数 y=f′(x)的图象,则下列命题错误的是(

A.导函数 y=f′(x)在 x=x1 处有极小值 C. 函数 y=f(x)在 x=x3 处有极小值
3 2

B. 导函数 y=f′(x)在 x=x2 处有极大值 D.函数 y=f(x)在 x=x4 处有极小值 ) D.4

12. (2006?浙江)f(x)=x ﹣3x +2 在区间[﹣1,1]上的最大值是( A.﹣2 B.0 C.2 二.填空题(共 6 小题) 13. (2012?威远县)已知函数 f(x)满足 f(2)=3,f′(2)=1,则

=

_________ .

14. (2008?上海)计算:

=

_________ .

15.如图所示,计算图中由曲线 y=

与直线 x=2 及 x 轴所围成的阴影部分的面积 S=

_________ .

16. (2012?湛江)已知曲线

,则过点 P(2,4)的切线方程为 _________ .

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www.jyeoo.com 17.给出下列四个命题: ①函数 y=f(x)在 x=x0 处可导,则函数 y=f(x)在 x0 处连续; ②函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数 f(x0)=0,则 f(x0)是函数 y=f(x)的一个极值; ③函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数不存在,则 f(x0)不是函数 y=f(x)的一个极值; ④函数 y=f(x)在 x=x0 处连续,则函数在 x=x0 处可导; ⑤函数 y=f(x)在 x=x0 处的左、右极限存在,则函数 y=f(x)在 x0 处连续; 其中正确的命题的序号是 _________ (请把所有正确命题的序号都填上) .

18.已知函 f(x)是可导函数,且 f′(a)=1,则

等于 _________ .

三.解答题(共 4 小题) 19.设点 B 在点 A 的正东方向 60cm 处,现在 A、B 两点同时开始运动,A 以 15cm/s 的速度向东,B 以 10cm/s 的 速度向北做匀速直线运动,求变动的 AB 连线长在第 2 秒末的速率. 20. (2012?湖南)已知函数 f(x)=e ﹣ax,其中 a>0. (1)若对一切 x∈R,f(x)≥1 恒成立,求 a 的取值集合; (2)在函数 f(x)的图象上取定点 A(x1,f(x1),B(x2,f(x2)(x1<x2) ) ) ,记直线 AB 的斜率为 K,证明: 存在 x0∈(x1,x2) ,使 f′(x0)=K 恒成立. 21.已知曲线 C:y=x ﹣3x ,直线 l:y=﹣2x (1)求曲线 C 与直线 l 围成的区域的面积; 3 2 (2)求曲线 y=x ﹣3x (0≤x≤1)与直线 l 围成的图形绕 x 轴旋转一周所得的旋转体的体积. 22.已知 y=e sin2x,求微分 dy.
﹣x

x

3

2

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2012 年 8 月王军霞的高中数学组卷(微积分)
参考答案与试题解析
一.选择题(共 12 小题) 1. (2010?辽宁)已知点 P 在曲线 y= A. [0, ) B. 上,α 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角,则 α 的取值范围是( C. D. )

考点: 导数的几何意义。 专题: 计算题。 分析: 利用导数在切点处的值是曲线的切线斜率,再根据斜率等于倾斜角的正切值求出角的范围. 解答: 解:因为 y′= = ∈[﹣1,0) ,
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即 tanα∈[﹣1,0) , ∵0≤α<π ∴ ≤α<π

故选 D. 点评: 本题考查导数的几何意义及直线的斜率等于倾斜角的正切值. 2. (2010?江西)若 f(x)=ax +bx +c 满足 f′(1)=2,则 f′(﹣1)=( A.﹣4 B.﹣2 C.2 考点: 专题: 分析: 解答:
4 2

) D.4

导数的运算。 整体思想。 先求导,然后表示出 f′(1)与 f′(﹣1) ,易得 f′(﹣1)=﹣f′(1) ,结合已知,即可求解.
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解:∵f(x)=ax +bx +c, 3 ∴f′(x)=4ax +2bx, ∴f′(1)=4a+2b=2, ∴f′(﹣1)=﹣4a﹣2b=﹣(4a+2b)=﹣2, 故选 B. 点评: 本题考查了导数的运算,注意整体思想的应用. 3. (2011?江西)若 f(x)=x ﹣2x﹣4lnx,则 f′(x)>0 的解集为( A.(0,+∞) B.(﹣1,0)∪(2,+∞)C.(2,+∞)
2

4

2

) D.(﹣1,0)

考点: 导数的加法与减法法则;一元二次不等式的解法。 专题: 计算题。 分析: 由题意,可先求出函数的定义域及函数的导数,再解出不等式 f′(x)>0 的解集与函数的定义域取交集, 即可选出正确选项 解答: 解:由题,f(x)的定义域为(0,+∞) ,f′(x)=2x﹣2+
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www.jyeoo.com 令 2x﹣2+ >0,整理得 x ﹣x+2>0,此不等式恒成立,即其解集为 R 结合函数的定义域知,f′(x)>0 的解集为(0,+∞) , 故A对 故选 A 点评: 本题考查导数的加法与减法法则,一元二次不等式的解法,计算题,基本题型,属于基础题. 4.函数 y=x ?a (1≠a>0)的导数是( A.5x4?axlna C. 5x4?ax+x5?ax 考点: 专题: 分析: 解答: 导数的乘法与除法法则。 计算题。
5 x 2

) B. 5x4?ax+x5?axlna D.5x4?ax+x5?axlogax

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利用导数乘法法则(μv)′=μ′v+v′μ 进行计算,其中(a )′=a lna, )′=5x . (x 5 x 解:∵y=x ?a 4 x 5 x ∴y′=5x ?a +x ?a lna 故选 B. 点评: 本题考查学生对导数乘法法则的运算能力,利用直接法求解,属于基础题.

x

x

5

4

5.要得到函数 A. 向右*移 B. C. 向左*移 向右*移

的导函数 f'(x)的图象,只需将 f(x)的图象( 个单位,再把各点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变) 个单位,再把各点的纵坐标缩短到原来的 2 倍(横坐标不变) 个单位,再把各点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变) 个单位,再把各点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变)



D. 向左*移

考点: 简单复合函数的导数;函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换。 专题: 计算题。 分析: 由题意可得 f'(x)=2cos(2x+ )= =2sin[2(x+
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)+

],而由 y=sin(2x+



y=2sin[2(x+ 断 解答: 解:∵ + ] 的导函数 f'(x)=2cos(2x+ )=

)+

]=f′(x) ,分析选项可判

=2sin[2(x+



而由 y=sin(2x+



y=2sin[2(x+

)+

]=f′

(x) 故选 D 点评: 本题主要考查三角函数的*移.复合函数的求导的应用,三角函数的*移原则为左加右减上加下减.
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www.jyeoo.com 6.已知某函数的导数为 y′= A.y=ln B.y=ln ,则这个函数可能是( ) D. y=ln

C.y=ln(1﹣x)

考点: 专题: 分析: 解答:

简单复合函数的导数。 计算题。 利用复合函数的导数法则依次对选项的函数求导数,结合题意,可得答案. 解:对选项求导.
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A、 (ln 对于 B,∵ 对于 C,

)′=

( ,∴

)′=

? (1﹣x)﹣ ?(﹣1)= ,不符合; ,不符合; ,不符合;

,符合;

对于 D,∵y=﹣ln(x﹣1)∴

故选 A 点评: 本题考查复合函数的导数法则:内函数的导数乘以外函数的导数.

7. (2009?福建) A.π

(1+cosx)dx 等于( B.2

) C.π﹣2 D.π+2

考点: 定积分。 专题: 计算题。 b b 分析: 由于 F(x)=x+sinx 为 f(x)=1+cosx 的一个原函数即 F′(x)=f(x) ,根据∫a f(x)dx=F(x)|a 公式即 可求出值. 解答: 解:∵(x+sinx)′=1+cosx,
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(1+cosx)dx=(x+sinx)

=

+sin



=π+2.

故选 D 点评: 此题考查学生掌握函数的求导法则,会求函数的定积分运算,是一道中档题.

8.曲线 y=sinx 与直线 y= A.

x 所围成的*面图形的面积是( B. C.

) D.

考点: 定积分。 专题: 计算题。 分析: 先将围成的*面图形的面积用定积分表示出来,然后运用微积分基本定理计算定积分即可.
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www.jyeoo.com 解答: 解:曲线 y=sinx 与直线 y= 所围成的*面图形的面积是 x 的一个交点的横坐标为:

=



= 故选 C.

点评: 本题主要考查了定积分在求面积中的应用,运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函 数,属于基础题.

9.定积分 A.﹣1 考点: 专题: 分析: 解答:

的值为( B.e2

) C.e2﹣1 D.1

微积分基本定理。 计算题。 确定被积函数的原函数,即可求得定积分. x x 解:∵(e )′=e
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=e

x

=e ﹣e =e ﹣1

2

0

2

故选 C. 点评: 本题考查定积分,解题的关键是确定被积函数的原函数,属于基础题. 10.已知函数 f(x)的定义域为[﹣2,4],且 f(4)=f(﹣2)=1,f′(x)为 f(x)的导函数,函数 y=f′(x) 的图象如图所示,则*面区域 f(2a+b)<1(a≥0,b≥0)所围成的面积是( )

A.2 考点: 定积分的简单应用。

B.4

C.5

D.8

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www.jyeoo.com 分析: 根据导函数的图象,分析原函数的性质或作出原函数的草图,找出 a、b 满足的条件,画出*面区域,即可 求解. 解答: 解:由图可知[﹣2,0)上 f′(x)<0, ∴函数 f(x)在[﹣2,0)上单调递减, (0,4]上 f′(x)>0, ∴函数 f(x)在(0,4]上单调递增, 故在[﹣2,4]上,f(x)的最大值为 f(4)=f(﹣2)=1,

∴f(2a+b)<1(a≥0,b≥0)?

表示的*面区域如图所示: 故选 B.

点评: 本题考查了导数与函数单调性的关系,以及线性规划问题的综合应用,属于高档题.解决时要注意数形结 合思想应用. 11. (2011?杭州)如图是导函数 y=f′(x)的图象,则下列命题错误的是( )

A.导函数 y=f′(x)在 x=x1 处有极小值 C. 函数 y=f(x)在 x=x3 处有极小值

B. 导函数 y=f′(x)在 x=x2 处有极大值 D.函数 y=f(x)在 x=x4 处有极小值

考点: 函数的单调性与导数的关系。 专题: 应用题。 分析: 根据如图所示的导函数的图象可知函数 f(x)在(﹣∞,x3)单调递增,在(x3,x4)单调递减, 4,+∞) (x 单调递增 函数在处 x3 有极大值,在 x4 处有极小值 解答: 解:根据如图所示的导函数的图象可知 函数 f(x)在(﹣∞,x3)单调递增,在(x3,x4)单调递减, 4,+∞)单调递增 (x 函数在处 x3 有极大值,在 x4 处有极小值 故选 C 点评: 本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系,考查了识别函数图形的能力,属基础题.
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www.jyeoo.com 12. (2006?浙江)f(x)=x ﹣3x +2 在区间[﹣1,1]上的最大值是( A.﹣2 B.0 C.2
3 2

) D.4

考点: 利用导数求闭区间上函数的最值。 分析: 由题意先对函数 y 进行求导,解出极值点,然后再根据函数的定义域,把极值点和区间端点值代入已知函 数,判断函数在区间上的增减性,比较函数值的大小,求出最大值,从而求解. 2 解答: 解:f'(x)=3x ﹣6x=3x(x﹣2) , 令 f'(x)=0 可得 x=0 或 2(2 舍去) , 当﹣1<x<0 时,f'(x)>0, 当 0<x<1 时,f'(x)<0, ∴当 x=0 时,f(x)取得最大值为 f(0)=2. 故选 C 点评: 此题考查导数的定义及利用导数来求闭区间函数的最值,解题的关键是求导要精确.
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二.填空题(共 6 小题) 13. (2012?威远县)已知函数 f(x)满足 f(2)=3,f′(2)=1,则 = 1 .

考点: 极限及其运算。 专题: 计算题。 分析: 由罗比达法则可得
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=

,把条件代入运算求出结果.

解答: 解:∵f(2)=3,f′(2)=1,由罗比达法则可得 = = =1,

故答案为 1. 点评: 本题主要考查求函数在某一点的极限的方法,及罗比达法则的应用,属于基础题.

14. (2008?上海)计算:

=



考点: 极限及其运算。 专题: 计算题。 分析:

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分子分母同时除以 3 ,原式简化为

n

,由此求出值即可.

解答: 解:

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www.jyeoo.com 故答案为: . 点评: 本题是一道基础题,考查函数的极限,解题时注意消除零因式.

15.如图所示,计算图中由曲线 y=

与直线 x=2 及 x 轴所围成的阴影部分的面积 S=



考点: 定积分在求面积中的应用。 专题: 计算题。 分析: 2 2 先将阴影部分的面积用定积分表示∫0 ( x )dx,然后根据定积分的定义求出此值即可.
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解答:

解:阴影部分的面积为∫0 ( x )dx, 而∫0 ( x )dx=( x )|0 = , 故答案为: .
2 2 3 2

2

2

点评: 本题主要考查了阴影部分的面积用定积分表示,以及定积分的求解,属于基础题.

16. (2012?湛江)已知曲线

,则过点 P(2,4)的切线方程为 x﹣y+2=0,或 4x﹣y﹣4=0



考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程。 专题: 计算题。 分析: 设出曲线过点 P 切线方程的切点坐标,把切点的横坐标代入到导函数中即可表示出切线的斜率,根据切点 坐标和表示出的斜率,写出切线的方程,把 P 的坐标代入切线方程即可得到关于切点横坐标的方程,求出 方程的解即可得到切点横坐标的值,分别代入所设的切线方程即可. 解答: 3 解:设曲线 y= x3+ 与过点 P(2,4)的切线相切于点 A(x0, x0 + ) ,
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则切线的斜率 k=y′|x=x0=x0 , ∴切线方程为 y﹣( 即 y=x ?x﹣ x + x0 + )=x0 (x﹣x0) ,
3 2

2

∵点 P(2,4)在切线上, ∴4=2x0 ﹣ x0 + ,即 x0 ﹣3x0 +4=0, ∴x0 +x0 ﹣4x0 +4=0, 2 ∴(x0+1) 0﹣2) =0 (x
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3 2 2 2 3 3 2

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www.jyeoo.com 解得 x0=﹣1 或 x0=2 故所求的切线方程为 4x﹣y﹣4=0 或 x﹣y+2=0. 故答案为:x﹣y+2=0,或 4x﹣y﹣4=0. 点评: 此题考查学生会利用导数研究曲线上某点的切线方程,是一道综合题.学生在解决此类问题一定要分清“在 某点处的切线”,还是“过某点的切线”;同时解决“过某点的切线”问题,一般是设出切点坐标解决.本题易 主观地认为点 P 即为切点.将它与求曲线上某点处的切线方程混淆. 17.给出下列四个命题: ①函数 y=f(x)在 x=x0 处可导,则函数 y=f(x)在 x0 处连续; ②函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数 f(x0)=0,则 f(x0)是函数 y=f(x)的一个极值; ③函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数不存在,则 f(x0)不是函数 y=f(x)的一个极值; ④函数 y=f(x)在 x=x0 处连续,则函数在 x=x0 处可导; ⑤函数 y=f(x)在 x=x0 处的左、右极限存在,则函数 y=f(x)在 x0 处连续; 其中正确的命题的序号是 ① (请把所有正确命题的序号都填上) . 考点: 导数的概念。 专题: 常规题型。 分析: 本题根据导数的概念,可导与连续函数定义逐一分析,对于②④分别举反例 f(x)=x3,f(x)=|x|,函数求 导是求极值的方法之一,求极值的方法与函数存在极值无关可解决③,根据连续函数的定义条件结合反例 可知⑤错误. 解答: 解:对于选项①,由定义知,①正确
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对于选项②,若 f(x0)=0,f(x0)不一定是函数 y=f(x)的一个极值,例如:f(x)=x 故②错误 对于选项③,函数求导是求极值的方法之一,求极值的方法与函数存在极值无关,故③错误 对于选项④,例如 f(x)=|x|在 x=0 处连续但不可导,故④错误 对于选项⑤,函数连续的概念:如果函数在 X=0 的极限存在,函数在 X=0 有定义,而且极限值等于函数值, 则称 f(X)在 X=0 点连续.三个条件缺一不可.例如函数 在 x=2 处左、右极限存在,

3

但函数在 x=2 处不连续 ⑤错误 故答案为:① 点评: 本题考查函数导数的定义,以及连续与可导之间的关系,需要深刻理解可导、连续、左右极限等概念.

18.已知函 f(x)是可导函数,且 f′(a)=1,则

等于



考点: 导数的概念。 专题: 计算题。 分析: 利用导数的定义,函数在某点处的导数,就是在该点处函数的增量与自变量的增量的比,求出 f′(a) ,再
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根据 解答: 解:∵f′(a)=

与 f′(a)的关系,求出

=1

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www.jyeoo.com 又∴ = = f′(a)=

故答案为 点评: 本题考查了导数的定义,属于概念考查题. 三.解答题(共 4 小题) 19.设点 B 在点 A 的正东方向 60cm 处,现在 A、B 两点同时开始运动,A 以 15cm/s 的速度向东,B 以 10cm/s 的 速度向北做匀速直线运动,求变动的 AB 连线长在第 2 秒末的速率. 考点: 实际问题中导数的意义。 专题: 计算题。 分析: 根据位移的导数是速度,即 AB 连线长的变动速率即为|AB'|对 t 的导数,求出 s 的导函数即速度与时间的函 数,将 2 代入求出物体在时刻 t=2 时的速率. 解答: 解:如图,设 AB'为 t 时刻 AB 连线, 则 AB 连线长的变动速率即为|AB'|对 t 的导数.
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|AB'|=S= AB'连线长的变动速度

=



=

=



t=2 时,

(cm/s)

点评: 本题考查导数在物理上的应用:对物体位移求导得到物体的瞬时速度. 20. (2012?湖南)已知函数 f(x)=e ﹣ax,其中 a>0. (1)若对一切 x∈R,f(x)≥1 恒成立,求 a 的取值集合; (2)在函数 f(x)的图象上取定点 A(x1,f(x1),B(x2,f(x2)(x1<x2) ) ) ,记直线 AB 的斜率为 K,证明: 存在 x0∈(x1,x2) ,使 f′(x0)=K 恒成立. 考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究函数的单调性。 专题: 计算题。 分析: (1)根据题意,对 f(x)求导可得 f′(x)=0,令 f′(x)=0,解可得 x=lna,分 x<lna 与 x>lna 两种 情况讨论可得 f(x)取最小值为 f(lna)=a﹣alna,令 g(t)=t﹣tlnt,对其求导可得 g′(t)=﹣lnt,分析 可得当 t=1 时,g(t)取得最大值 1,因此当且仅当 a=1 时,a﹣alna≥1 成立,即可得答案;
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x

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www.jyeoo.com (2)根据题意,由直线的斜率公式可得 k=
t

﹣a,令 φ(x)=f′(x)﹣k=e ﹣
t

x

,可

以求出 φ(x1)与 φ(x2)的值,令 F(t)=e ﹣t﹣1,求导可得 F′(t)=e ﹣1, t 分 t>0 与 t<0 讨论可得 F(t)的最小值为 F(0)=0,则当 t≠0 时,F(t)>F(0)=0,即 e ﹣t﹣1>0, 进而讨论可得 φ(x1)<0、φ(x2)>0,结合函数的连续性分析可得答案. x 解答: 解: (1)f′(x)=e ﹣a, 令 f′(x)=0,解可得 x=lna; 当 x<lna,f′(x)<0,f(x)单调递减,当 x>lna,f′(x)>0,f(x)单调递增, 故当 x=lna 时,f(x)取最小值,f(lna)=a﹣alna, 对一切 x∈R,f(x)≥1 恒成立,当且仅当 a﹣alna≥1,① 令 g(t)=t﹣tlnt,则 g′(t)=﹣lnt, 当 0<t<1 时,g′(t)>0,g(t)单调递增,当 t>1 时,g′(t)<0,g(t)单调递减, 故当 t=1 时,g(t)取得最大值,且 g(1)=1, 因此当且仅当 a=1 时,①式成立, 综上所述,a 的取值的集合为{1}. (2)根据题意,k= = ﹣a,

令 φ(x)=f′(x)﹣k=e ﹣

x



则 φ(x1)=﹣

[

﹣(x2﹣x1)﹣1],

φ(x2)=
t

[

﹣(x1﹣x2)﹣1],
t

令 F(t)=e ﹣t﹣1,则 F′(t)=e ﹣1, 当 t<0 时,F′(t)<0,F(t)单调递减;当 t>0 时,F′(t)>0,F(t)单调递增, 则 F(t)的最小值为 F(0)=0, 故当 t≠0 时,F(t)>F(0)=0,即 e ﹣t﹣1>0, 从而 ﹣(x2﹣x1)﹣1>0,且 >0,则 φ(x1)<0,
t

﹣(x1﹣x2)﹣1>0,

>0,则 φ(x2)>0,

因为函数 y=φ(x)在区间[x1,x2]上的图象是连续不断的一条曲线,所以存在 x0∈(x1,x2) ,使 φ(x0) =0, 即 f′(x0)=K 成立. 点评: 本题考查导数的应用,涉及最大值、最小值的求法以及恒成立问题,是综合题;关键是理解导数的符号与 单调性的关系,并能正确求出函数的导数. 21.已知曲线 C:y=x ﹣3x ,直线 l:y=﹣2x (1)求曲线 C 与直线 l 围成的区域的面积; 3 2 (2)求曲线 y=x ﹣3x (0≤x≤1)与直线 l 围成的图形绕 x 轴旋转一周所得的旋转体的体积.
3 2

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www.jyeoo.com 考点: 用定积分求简单几何体的体积;定积分在求面积中的应用。 专题: 数形结合;转化思想。 3 2 分析: (1)先求出曲线 C:y=x ﹣3x ,直线 l:y=﹣2x 的交点坐标,确定出积分区间与被积函数,用积分求出曲 线 C 与直线 l 围成的区域的面积;
1040863

(2)曲线 y=x ﹣3x (0≤x≤1)与直线 l 围成的图形绕 x 轴旋转一周所得的旋转体的体积可由一个圆锥体的 2 3 2 2 体积减去一个不规则几何体的体体积,被积函数为 π[(﹣2x) ﹣(x ﹣3x ) ],求出积分即可得到所求的 旋转体的体积
3 2 解答: 解: (1)联立 y=x ﹣3x 与 y=﹣2x 得:x=0,1 或 2. ∴曲线 C 与直线 l 有三个交点. 2 y'=3x ﹣6x 令 y′=0 得:x=0 或 x=2 ∵当 x∈(﹣∞,0)∪(2,+∞)时, y′>0,当 x∈(0,2)时,y'<0, ∴曲线 C 大致形状如图所示.

3

2

∴S= (2)由题意,旋转体的体积 V=

+

= = π

点评: 本题考查用定积分求简单几何体的体积,解着此类问题,关键是掌握积分的几何意义及根据题设条件确定 出被积函数与积分区间,熟练掌握求导的运算规则是正确求定积分的知识保证. 22.已知 y=e sin2x,求微分 dy. 考点: 微积分基本定理。 专题: 计算题。 ﹣x ′ ′ ′ 分析: 求微分 dy,设 y=f(x) ,则 dy=f(x)'dx,此题 f(x)=e sin2x,再根据积分公式(uv) =u v+v u 求解 ′ f(x) ,故可求解出微分 dy. ﹣ 解答: 解:dy=(e xsin2x)'dx ﹣x ﹣x =[e (sin2x)'+(e )'sin2x]dx ﹣x ﹣x =(2e cos2x﹣e sin2x)dx ﹣x =e (2cos2x﹣sin2x)dx. 点评: 此题考查微积分的基本定理及基本计算,其中涉及到乘法函数的求积分问题.题目涉及知识点教少但计算 能力要求较高.在计算方面要稍加注意.
1040863

﹣x

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