2012年8月王军霞的高中数学组卷(直线与圆)

发布时间:2021-12-01 05:27:01

2012 年 8 月王军霞的高中数学组卷(直线与圆)

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2012 年 8 月王军霞的高中数学组卷(直线与圆)
一.选择题(共 12 小题) 1. (2011?江西)曲线 y=e 在点 A(0,1)处的切线斜率为( A.1 B.2 C.e
x

) D.

2. (2004?浙江)直线 y=2 与直线 x+y﹣2=0 的夹角是( ) A. B. C.

D.

3.过点 A(1,2)和点(﹣3,2)的直线与直线 y=0 的位置关系是( A.*行 B.相交 C.重合
2 2

) D.以上都不对

4. (2008?广东)经过圆 x +2x+y =0 的圆心 C,且与直线 x+y=0 垂直的直线方程是( ) A.x+y+1=0 B.x+y﹣1=0 C.x﹣y+1=0 D.x﹣y﹣1=0 5.过点(2,0) ,且斜率为 3 的直线方程为( A.y=3x+2 B.y=3x﹣2 ) C.y=3(x﹣2) D.y=3(x+2)

6.过点 A(4,1)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是( ) A.x+y=5 B.x﹣y=5 C.x+y=5 或 x﹣4y=0

D.x﹣y=5 或 x+4y=0

7.若动点 A(x1,y1) ,B(x2,y2)分别在直线 l1:x+y﹣7=0 和 l2:x+y﹣5=0 上移动,则线段 AB 的中点 M 到原 点的距离的最小值为( ) A.2 B.3 C.3 D.4

8.直线

和圆 x +y =16 交于 A,B 两点,则 AB 的中点坐标为(

2

2



A.(3,﹣3)

B.

C.

D.

9.若动点 P 到点 F(1,1)和直线 3x+y﹣4=0 的距离相等,则点 P 的轨迹方程为( ) A.3x+y﹣6=0 B.x﹣3y+2=0 C.x+3y﹣2=0 D.3x﹣y+2=0 10. (2009?重庆)圆心在 y 轴上,半径为 1,且过点(1,2)的圆的方程为( ) 2 2 2 2 2 2 A.x +(y﹣2) =1 B.x +(y+2) =1 C.(x﹣1) +(y﹣3) =1 D.x2+(y﹣3)2=1 11. (2004?重庆)若三棱锥 A﹣BCD 的侧面 ABC 内一动点 P 到底面 BCD 的面积与到棱 AB 的距离相等,则动点 P 的轨迹与△ ABC 组成图形可能是: ( )

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12.A=C≠0,B=0 是方程 Ax +Bxy+Cy +Dx+Ey+F=0 表示圆的( ) A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.不充分不必要条件 二.填空题(共 6 小题) 2 2 13.已知点 A(8,﹣6)与圆 C:x +y =25,P 是圆 C 上任意一点,则 AP 的最小值是 _________ . 14.圆(x+2) +(y﹣1) =5 关于原点对称的圆的方程为 _________ . 15.以点(﹣1,2)为圆心且与直线 y=x﹣1 相切的圆的标准方程是 _________ 16. (2004?北京)圆 x +y +2y=0 的圆心坐标是 _________ ,如果直线 x+y+a=0 与该圆有公共点,那么实数 a 的取值范围是 _________ . 17. (2011?广州)若过定点 M(﹣1,0)且斜率为 k 的直线与圆 x +4x+y ﹣5=0 在第一象限内的部分有交点,则 k 的取值范围是 _________ . 18.圆 C:x +y +4y=0 与圆 D:x +y +2ax+2y+a =0 相外切,则 a 的值等于 _________ . 三.解答题(共 5 小题) 2 2 19.已知直线 l:y=2x+1 和圆 C:x +y =4, (1)试判断直线和圆的位置关系. (2)求过点 P(﹣1,2)且与圆 C 相切的直线的方程. 20. (2011?陕西)如图,设 P 是圆 x +y =25 上的动点,点 D 是 P 在 x 轴上的摄影,M 为 PD 上一点,且|MD|= |PD| (Ⅰ)当 P 在圆上运动时,求点 M 的轨迹 C 的方程 (Ⅱ)求过点(3,0)且斜率 的直线被 C 所截线段的长度.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2



21.如图,已知正方形的边长为 1,在正方形 ABCD 中有两个相切的内切圆. (1)求这两个内切圆的半径之和;
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www.jyeoo.com (2) 当这两个圆的半径为何值时, 两圆面积之和有最小值?当这两个圆的半径为何值时, 两圆面积之和有最大值?

22.给定空间直角坐标系,在 x 轴上找一点 P,使它与点 P0(4,1,2)的距离为



23.如图,一座圆拱桥,当水面在 m 位置时,拱顶离水面 2 米,水面宽 12 米.当水面下降 1 米后水面宽多少米?

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2012 年 8 月王军霞的高中数学组卷(直线与圆)
参考答案与试题解析
一.选择题(共 12 小题) x 1. (2011?江西)曲线 y=e 在点 A(0,1)处的切线斜率为( A.1 B.2 C.e

) D.

考点: 直线的斜率;导数的几何意义。 专题: 计算题。 分析: 由曲线的解析式,求出导函数,然后把切点的横坐标 x=0 代入,求出对应的导函数的函数值即为切线方程 的斜率. x x 解答: 解:由 y=e ,得到 y′=e ,
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把 x=0 代入得:y′x=0=1, x 则曲线 y=e 在点 A(0,1)处的切线斜率为 1. 故选 A. 点评: 此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率,是一道基础题. 2. (2004?浙江)直线 y=2 与直线 x+y﹣2=0 的夹角是( ) A. B. C.

D.

考点: 直线的倾斜角。 分析: 首先由直线的斜率求出它们的倾斜角,
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然后利用两直线夹角在[0, 解答: 解:直线 y=2 的倾斜角是 0,

]内即可选出答案.

且直线 x+y﹣2=0 的斜率是﹣1,则倾斜角是 所以这两条直线的夹角是 π .



故选 A. 点评: 本题考查斜率与倾斜角的关系及两直线夹角的范围. 3.过点 A(1,2)和点(﹣3,2)的直线与直线 y=0 的位置关系是( A.*行 B.相交 C.重合 考点: 专题: 分析: 解答: ) D.以上都不对

两条直线*行的判定。 计算题。 因为已知两点的纵坐标相等都是 2,故 过已知两点的直线方程为 y=2,它显然与直线 y=0 *行. 解:∵点 A(1,2)和点(﹣3,2)的纵坐标相等, ∴过点 A(1,2)和点(﹣3,2)的直线直线方程为 y=2, ∴此直线与直线 y=0 *行. 故选 A. 点评: 本题考查两直线*行的判定方法,当两直线的斜率相等,在 y 轴上的截距不相等时,两直线*行.
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www.jyeoo.com 4. (2008?广东)经过圆 x +2x+y =0 的圆心 C,且与直线 x+y=0 垂直的直线方程是( ) A.x+y+1=0 B.x+y﹣1=0 C.x﹣y+1=0 D.x﹣y﹣1=0 考点: 两条直线垂直的判定。 分析: 先求 C 点坐标和与直线 x+y=0 垂直直线的斜率,再由点斜式写出直线方程. 解答: 解:易知点 C 为(﹣1,0) , 因为直线 x+y=0 的斜率是﹣1, 所以与直线 x+y=0 垂直直线的斜率为 1, 所以要求直线方程是 y=x+1 即 x﹣y+1=0. 故选 C. 点评: 本题主要考查两直线垂直的条件和直线方程的点斜式,同时考查圆一般方程的圆心坐标.
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5.过点(2,0) ,且斜率为 3 的直线方程为( A.y=3x+2 B.y=3x﹣2 考点: 专题: 分析: 解答:

) C.y=3(x﹣2) D.y=3(x+2)

直线的点斜式方程。 计算题。 直接由点斜式求得过点(2,0) ,且斜率为 3 的直线方程. 解:由点斜式求得过点(2,0) ,且斜率为 3 的直线方程为 y﹣0=3(x﹣2) ,即 y=3(x﹣2) , 故选 C. 点评: 本题主要考查用点斜式求直线方程的方法,属于基础题.
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6.过点 A(4,1)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是( ) A.x+y=5 B.x﹣y=5 C.x+y=5 或 x﹣4y=0

D.x﹣y=5 或 x+4y=0

考点: 直线的截距式方程。 专题: 计算题;分类讨论。 分析: 当直线过原点时,斜率为 ,由点斜式求得直线的方程,当直线不过原点时,设直线的方程是:x+y=a,把
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点 A(4,1)代入方程求得 a 值. 解答: 解:当直线过原点时,斜率为 ,由点斜式求得直线的方程是 y= x.

当直线不过原点时,设直线的方程是:x+y=a,把点 A(4,1)代入方程得 a=5, 直线的方程是 x+y=5. 综上,所求直线的方程为 y= x 或 x+y=5.

故选 C. 点评: 本题考查用点斜式、截距式求直线方程的方法,体现了分类讨论的数学思想. 7.若动点 A(x1,y1) ,B(x2,y2)分别在直线 l1:x+y﹣7=0 和 l2:x+y﹣5=0 上移动,则线段 AB 的中点 M 到原 点的距离的最小值为( ) A.2 B.3 C.3 D.4 考点: 两点间的距离公式;中点坐标公式。 专题: 计算题。 分析: 根据题意可推断出 M 点的轨迹为*行于直线 l1、 2 且到 l1、2 距离相等的直线 l 进而根据两直线方程求得 M l l 的轨迹方程,进而利用点到直线的距离求得原点到直线的距离为线段 AB 的中点 M 到原点的距离的最小值
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www.jyeoo.com 为,求得答案. 解答: 解:由题意知,M 点的轨迹为*行于直线 l1、l2 且到 l1、l2 距离相等的直线 l,故其方程为 x+y﹣6=0, ∴M 到原点的距离的最小值为 d= =3 .

故选 C 点评: 本题主要考查了两点间的距离公式的应用.考查了数形结合的思想的应用,基本的运算能力.

8.直线

和圆 x +y =16 交于 A,B 两点,则 AB 的中点坐标为(

2

2



A.(3,﹣3)

B.

C.

D.

考点: 中点坐标公式;直线的参数方程。 专题: 计算题。 分析: 把直线的参数方程化为普通方程后代入圆 x2+y2=16 化简可得 x2﹣6x+8=0,可得 x1+x2=6,即 AB 的中点的 横坐标为 3,代入直线的方程求得 AB 的中点的纵坐标. 解答:
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解:直线
2 2 2

即 y=



代入圆 x +y =16 化简可得 x ﹣6x+8=0, ∴x1+x2=6,即 AB 的中点的横坐标为 3, ∴AB 的中点的纵坐标为 3 ﹣4 =﹣ , 故 AB 的中点坐标为 , 故选 D. 点评: 本题考查把参数方程化为普通方程的方法,一元二次方程根与系数的关系,线段的中点公式的应用,求得 x1+x2=6,是解题的关键. 9.若动点 P 到点 F(1,1)和直线 3x+y﹣4=0 的距离相等,则点 P 的轨迹方程为( ) A.3x+y﹣6=0 B.x﹣3y+2=0 C.x+3y﹣2=0 D.3x﹣y+2=0 考点: 与直线有关的动点轨迹方程;两点间距离公式的应用;点到直线的距离公式。 专题: 计算题。 分析: 因为点 F(1,1)在直线 3x+y﹣4=0,所以点 P 的轨迹是过点 F(1,1)且垂直于已知直线的直线,由点斜 法写出即可. 解答: 解:点 F(1,1)在直线 3x+y﹣4=0 上,则点 P 的轨迹是过点 F(1,1)且垂直于已知直线的直线,
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因为直线 3x+y﹣4=0 的斜率为﹣3,所以所求直线的斜率为 ,由点斜式知点 P 的轨迹方程为 y﹣1= (x﹣ 1) 即 x﹣3y+2=0 故选 B 点评: 本题考查轨迹方程的求法、两条直线垂直的应用、直线的点斜式方程等,注意点 P 的轨迹不是抛物线. 10. (2009?重庆)圆心在 y 轴上,半径为 1,且过点(1,2)的圆的方程为( ) 2 2 2 2 2 2 A.x +(y﹣2) =1 B.x +(y+2) =1 C.(x﹣1) +(y﹣3) =1 D.x2+(y﹣3)2=1 考点: 圆的标准方程。

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www.jyeoo.com 专题: 计算题;数形结合。 分析: 法 1:由题意可以判定圆心坐标(0,2) ,可得圆的方程. 法 2:数形结合法,画图即可判断圆心坐标,求出圆的方程. 法 3:回代验证法,逐一检验排除,即将点(1,2)代入四个选择支,验证是否适合方程,圆心在 y 轴上, 排除 C,即可. 解答: 解法 1(直接法) :设圆心坐标为(0,b) , 则由题意知
2 2



解得 b=2,故圆的方程为 x +(y﹣2) =1. 故选 A. 解法 2(数形结合法) :由作图根据点(1,2)到圆心的距离为 1 易知圆心为(0,2) , 故圆的方程为 x +(y﹣2) =1 故选 A. 解法 3(验证法) :将点(1,2)代入四个选择支, 排除 B,D,又由于圆心在 y 轴上,排除 C. 故选 A. 点评: 本题提供三种解法,三种解题思路,考查圆的标准方程,是基础题. 11. (2004?重庆)若三棱锥 A﹣BCD 的侧面 ABC 内一动点 P 到底面 BCD 的面积与到棱 AB 的距离相等,则动点 P 的轨迹与△ ABC 组成图形可能是: ( ) A. B. C. D.
2 2

考点: 轨迹方程。 专题: 计算题;数形结合。 分析: 设二面角 A﹣BC﹣D 的大小为 θ,作 PR⊥面 BCD 于 R,PQ⊥BC 于 Q,PC⊥AB 于 T,则∠PQR=θ,由题
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设条件知

=sinθ 为小于 1 的常数.

解答: 解:设二面角 A﹣BC﹣D 的大小为 θ,如图. 作 PR⊥面 BCD 于 R,PQ⊥BC 于 Q,PC⊥AB 于 T,则∠PQR=θ, 且由条件 PT=PR=PQ?sinθ, ∴ =sinθ 为小于 1 的常数,

故选 D.

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点评: 本题考查轨迹方程问题,数形结合是最有效的解题方法. 12.A=C≠0,B=0 是方程 Ax +Bxy+Cy +Dx+Ey+F=0 表示圆的( ) A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.不充分不必要条件 考点: 二元二次方程表示圆的条件。 分析: 方程 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 表示圆,必有 A=C≠0,B=0 并且 D2+E2﹣4F>0,利用充要条件的判定方法 判定即可. 解答: 解:方程 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 表示圆,必有 A=C≠0,B=0 并且 D2+E2﹣4F>0;
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反之 A=C≠0,B=0 方程 Ax +Bxy+Cy +Dx+Ey+F=0 不一定表示圆. 故选 B. 点评: 本题考查二元二次方程表示圆的条件,充要条件的判定方法.是基础题. 二.填空题(共 6 小题) 2 2 13.已知点 A(8,﹣6)与圆 C:x +y =25,P 是圆 C 上任意一点,则 AP 的最小值是 5 . 考点: 专题: 分析: 解答: 点与圆的位置关系。 计算题。 求出点 A(8,﹣6)与圆 C 的圆心(0,0)的距离,用此距离减去半径即为所求. 解:点 A(8,﹣6)与圆 C 的圆心(0,0)的距离等于 =10, 故 AP 的最小值是 10 减去半径 5,等于 5, 故答案为 5. 点评: 本题考查点与圆的位置关系,圆外一点与圆上的点间的最小距离等于点与圆心的距离减去半径.
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14.圆(x+2) +(y﹣1) =5 关于原点对称的圆的方程为 (x﹣2) +(y+1) =5 . 考点: 专题: 分析: 解答: 关于点、直线对称的圆的方程。 计算题。 求出已知圆的圆心和半径, 求出圆心 A 关于原点对称的圆的圆心 B 的坐标, 即可得到对称的圆的标准方程. 2 2 解:圆(x+2) +(y﹣1) =5 的圆心 A(﹣2,1) ,半径等于 , 圆心 A 关于原点(0,0)对称的圆的圆心 B(2,﹣1) , 2 2 故对称圆的方程为 (x﹣2) +(y+1) =5, 2 2 故答案为 (x﹣2) +(y+1) =5. 点评: 本题考查求一个圆关于一个点的对称圆的方程的求法,求出圆心 A 关于原点(0,0)对称的圆的圆心 B 的
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www.jyeoo.com 坐标,是解题的关键. 15.以点(﹣1,2)为圆心且与直线 y=x﹣1 相切的圆的标准方程是 (x+1) +(y﹣2) =8 . 考点: 专题: 分析: 解答: 圆的切线方程。 计算题。 由题意得,圆心到直线的距离等于圆的半径,求出半径,即可得到圆的标准方程. 解:∵点(﹣1,2)为圆心,且与直线 y=x﹣1 相切,
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2

2

∴r=

=2


2 2

故所求的圆的方程为 (x+1) +(y﹣2) =8, 2 2 故答案为(x+1) +(y﹣2) =8. 点评: 本题考查直线和圆相切的性质,点到直线的距离公式的应用,圆的标准方程形式. 16. (2004?北京)圆 x +y +2y=0 的圆心坐标是 (0,﹣1) ,如果直线 x+y+a=0 与该圆有公共点,那么实数 a 的取值范围是 . 考点: 直线与圆相交的性质;圆的一般方程。 专题: 计算题。 分析: 把圆的方程化为标准形式,求出圆心和半径,再求出直线 x+y+a=0 与该圆相切时的 a 值,集合图形知实数 a 的取值范围. 解答: 解:圆 x2+y2+2y=0 即 x2 +(y+1)2=1,表示圆心在(0,﹣1) ,半径等于 1 的圆.
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2

2

直线 x+y+a=0 与该圆相切时,由 1=

,可得 a=1+

或 a=1﹣



故实数 a 的取值范围是[1﹣ ,1+ ]. 故答案为 (0,﹣1) ,[1﹣ ,1+ ]. 点评: 本题考查圆的标准方程,直线和圆相交的性质,以及点到直线的距离公式的应用. 17. (2011?广州)若过定点 M(﹣1,0)且斜率为 k 的直线与圆 x +4x+y ﹣5=0 在第一象限内的部分有交点,则 k 的取值范围是 (0, ) . 考点: 直线与圆的位置关系。 专题: 计算题;数形结合。 分析: 把圆的方程法化为标准形式,求出圆心和半径,并令圆方程中 x=0,求出对应的 y 值,根据 y 值设出 A(0, ) ,由题意知 0<k<kMA,从而解出 k 的取值范围. 2 2 解答: 解:把圆的方程化为标准方程得: (x+2) +y =9, ∴圆心坐标为(﹣2,0) ,半径 r=3,
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令 x=0,则 设 A(0, ∴

, ) ,又 M(﹣1,0) , ,

又∵直线过第一象限且过(﹣1,0)点, ∴k>0,又直线与圆在第一象限内有交点, ∴k< = , ) .

则 k 的取值范围是(0, 故答案为: (0, )

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点评: 本题考查直线和圆的位置关系,涉及的知识有:圆的标准方程,直线斜率的求法,利用了数形结合的思想, 其中解题的关键是结合图形分析可得 0<k<kMA. 18.圆 C:x +y +4y=0 与圆 D:x +y +2ax+2y+a =0 相外切,则 a 的值等于 . 考点: 圆与圆的位置关系及其判定。 专题: 计算题。 分析: 先把两圆的方程整理成标准方程进而求得两圆的圆心坐标和半径.进而根据圆心距离为两半径之和,根据 两点间的距离公式建立等式求得 a. 2 2 2 2 解答: 解:整理圆 C 的方程为 x +(y+2) =4,圆 D 方程为(x+a) +(y+1) =1 ∴圆 C 的圆心为(0,﹣2) ,圆 D 的圆心为(﹣a,﹣1) ∵两圆相外切 ∴圆心距离为两半径之和,
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2

2

2

2

2



=3,求得 a=±2

故答案为:±2 点评: 本题主要考查了圆与圆的位置关系及其判定.常需要看圆心之间的距离与两圆的半径的关系. 三.解答题(共 5 小题) 2 2 19.已知直线 l:y=2x+1 和圆 C:x +y =4, (1)试判断直线和圆的位置关系. (2)求过点 P(﹣1,2)且与圆 C 相切的直线的方程. 考点: 直线与圆的位置关系。 专题: 计算题。 分析: (1)根据圆的标准方程,找出圆心 C 的坐标和半径 r,利用点到直线的距离公式求出圆心 C 到直线 l 的距 离 d,判定 d 与 r 的大小即可确定出直线 l 与圆 C 的位置关系; (2)设过点 P(﹣1,2)且与圆 C 相切的直线的方程为 x=﹣1 时,不合题意舍去;设过点 P(﹣1,2)且 与圆 C 相切的直线的方程的斜率为 k,得出切线方程为 kx﹣y+k+2=0,利用圆心到直线的距离等于半径列 出关于 k 的方程,求出 k 值,从而得出切线方程. 2 2 解答: 解: (1)因为 x +y =4, 所以圆心为(0,0) ,半径 r=2. 又因为 y=2x+1,
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所以圆心到直线的距离为 d=

<2=r.

所以直线与圆相交. (2)设过点 P(﹣1,2)且与圆 C 相切的直线的方程为 x=﹣1 时,不合题意舍去 设过点 P(﹣1,2)且与圆 C 相切的直线的方程的斜率为 k,
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www.jyeoo.com 则切线方程为 kx﹣y+k+2=0, 由
2



化简得 3k ﹣4k=0 解得 k=0 或 所以切线方程为 y=0 或 4x﹣3y+10=0 点评: 此题考查了直线与圆的位置关系,要求学生掌握点到直线的距离公式.圆心到直线的距离为 d,圆的半径为 r,当 d>r 时,直线与圆的位置关系为相离;当 d=r 时,直线与圆相切;当 d<r 时,直线与圆相交. 20. (2011?陕西)如图,设 P 是圆 x +y =25 上的动点,点 D 是 P 在 x 轴上的摄影,M 为 PD 上一点,且|MD|= |PD| (Ⅰ)当 P 在圆上运动时,求点 M 的轨迹 C 的方程 (Ⅱ)求过点(3,0)且斜率 的直线被 C 所截线段的长度.
2 2

考点: 轨迹方程;直线与圆相交的性质。 专题: 计算题。 分析: 2 2 (I)由题意 P 是圆 x +y =25 上的动点,点 D 是 P 在 x 轴上的摄影,M 为 PD 上一点,且|MD|= |PD|,利
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用相关点法即可求轨迹; (II)由题意写出直线方程与曲线 C 的方程进行联立,利用根与系数的关系得到线段长度. 解答: 解: (Ⅰ)设 M 的坐标为(x,y)P 的坐标为(xp,yp) 由已知得:

∵P 在圆上, ∴ ,即 C 的方程为 . ,

(II)过点(3,0)且斜率为 的直线方程为: 设直线与 C 的交点为 A(x1,y1)B(x2,y2) , 将直线方程

即:



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www.jyeoo.com ∴线段 AB 的长度为|AB|= .

=

=

点评: 此题重点考查了利用相关点法求动点的轨迹方程,还考查了联立直线方程与曲线方程进行整体代入,还有 两点间的距离公式. 21.如图,已知正方形的边长为 1,在正方形 ABCD 中有两个相切的内切圆. (1)求这两个内切圆的半径之和; (2) 当这两个圆的半径为何值时, 两圆面积之和有最小值?当这两个圆的半径为何值时, 两圆面积之和有最大值?

考点: 圆与圆的位置关系及其判定。 专题: 计算题;综合题。 分析: (1)由题意可知三角形 CEO1 为等腰直角三角形,根据勾股定理得到 CO1 等于 R1;同理得到 AO2 等于 R2,根据线段 AC 等于 AO2+O2O1+O1C,将各自的值代入即可表示出 AC 的长,又根据正方形的边长为 1,利用勾股定理求出 AC 的长度,两者相等即可求出两半径之和的值;
1040863

(2)根据两圆的半径,利用圆的面积公式表示出两圆的面积之和,由(1)中求出的两半径之和表示出 R2, 代入两圆的面积之和的式子中消去 R2, 得到关于 R1 的关系式, 根据完全*方大于等于 0 求出两圆面积之和 的最小值时,两半径的值即可. 解答: 解: (1)由图知∠CEO1=90°,CE=O1E=R1 ∴2R1 =CO1 ,CO1= 同理 AO2= .
2 2



∴AC=AO2+O2O1+O1C = (R1+R2)+(R1+R2) = (R1+R2) , 又∵AB=1,∴AC= ∴ ∴R1+R2= (R1+R2)= ; ,

(2)两圆面积之和 S=πR1 +πR2 = =

2

2

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www.jyeoo.com = ∴当 R1= ,即 R1=R2 时 S 为最小. ; .

因 R1 的最大值为 R1= ,这时 R2 为最小值,其值为 R2= 又当 R2= 时,R1 有最小值 R1= 故当 R1= (此时 R2= )或 R1= , (此时 R2= )时,S 有最大值.

点评: 此题考查学生掌握正方形的性质,掌握直线与圆相切时所满足的条件以及两圆外切时所满足的条件,是一 道多知识的综合题. 22.给定空间直角坐标系,在 x 轴上找一点 P,使它与点 P0(4,1,2)的距离为 .

考点: 空间两点间的距离公式。 专题: 计算题。 分析: 设出 x 轴上的点的坐标,根据它与已知点之间的距离,写出两点之间的距离公式,得到关于未知数的方程, 解方程即可,注意不要漏掉解,两个结果都合题意. 解答: 解:设点 P 的坐标是(x,0,0) ,
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由题意 即
2

, ,

∴(x﹣4) =25.解得 x=9 或 x=﹣1. ∴点 P 坐标为(9,0,0)或(﹣1,0,0) . 点评: 本题考查空间两点之间的距离公式,是一个基础题,在两点的坐标,和两点之间的距离,这三个量中,可 以互相求解. 23.如图,一座圆拱桥,当水面在 m 位置时,拱顶离水面 2 米,水面宽 12 米.当水面下降 1 米后水面宽多少米?

考点: 圆方程的综合应用。 专题: 计算题;综合题;数形结合。 分析: 先根据题目条件建立适当的直角坐标系,得到各点的坐标,通过设圆的半径,可得圆的方程,然后将点的 坐标代入确定圆的方程,设当水面下降 1 米后可设 A′的坐标为(x0,﹣3) 0>0)根据点在圆上,可求 (x 得 x0 的值,从而得到问题的结果. 解答: 解:以圆拱拱顶为坐标原点,以过拱顶顶点的竖直直线为 y 轴,建立直角坐标系, 设圆心为 C,水面所在弦的端点为 A,B,则由已知可得:A(6,﹣2) , 2 2 2 设圆的半径为 r,则 C(0,﹣r) ,即圆的方程为 x +(y+r) =r 将 A 的坐标代入圆的方程可得 r=10 2 2 所以圆的方程是:x +(y+10) =100 则当水面下降 1 米后可设 A′的坐标为(x0,﹣3) 0>0) (x
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www.jyeoo.com 代入圆的方程可得 x0= , 所以当水面下降 1 米后,水面宽为 2 米.

点评: 本题考查了圆的方程的综合应用,以及点在圆上的条件的转化,圆的对称性的体现,是个基础题.

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